Question

對(duì)鈾235的進(jìn)一步研究在核能的開(kāi)發(fā)和利用中具有重要意義．如圖所示，質(zhì)量為m、電荷量為q的鈾235離子，從容器A下方的小孔S₁不斷飄入加速電場(chǎng)，其初速度可視為零，然后經(jīng)過(guò)小孔S₂垂直于磁場(chǎng)方向進(jìn)入磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中，做半徑為R的勻速圓周運(yùn)動(dòng)．離子行進(jìn)半個(gè)圓周后離開(kāi)磁場(chǎng)并被收集，離開(kāi)磁場(chǎng)時(shí)離子束的等效電流為I．不考慮離子重力及離子間的相互作用．
（1）求加速電場(chǎng)的電壓U；
（2）求出在離子被收集的過(guò)程中任意時(shí)間t內(nèi)收集到離子的質(zhì)量M；
（3）實(shí)際上加速電壓的大小會(huì)在U±△U范圍內(nèi)微小變化．若容器A中有電荷量相同的鈾235和鈾238兩種離子，如前述情況它們經(jīng)電場(chǎng)加速后進(jìn)入磁場(chǎng)中會(huì)發(fā)生分離，為使這兩種離子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的軌跡不發(fā)生交疊，

△U

U

應(yīng)小于多少？（結(jié)果用百分?jǐn)?shù)表示，保留兩位有效數(shù)字）

Answer 1

分析：（1）設(shè)離子經(jīng)電場(chǎng)加速度時(shí)的速度為v，由動(dòng)能定理及向心力公式即可求解；
（2）設(shè)在t時(shí)間內(nèi)收集到的離子個(gè)數(shù)為N，總電荷量為Q，根據(jù)Q=It、M=Nm，即可求解M；
（3）根據(jù)向心力公式求出半徑R的表達(dá)式，進(jìn)而表示出鈾235離子在磁場(chǎng)中最大半徑和鈾238離子在磁場(chǎng)中最小半徑，要使兩種離子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的軌跡不發(fā)生交疊，則鈾235離子在磁場(chǎng)中最大半徑小于鈾238離子在磁場(chǎng)中最小半徑，進(jìn)而即可求解．

解答：解：（1）設(shè)離子經(jīng)電場(chǎng)加速度時(shí)的速度為v，由動(dòng)能定理得：
qU=

1

2

mv2…①
粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，洛倫茲力提供向心力，即：Bqv=m

v2

R

…②
由①②解得：U=

qB2R2

2m

…③
（2）設(shè)在t時(shí)間內(nèi)收集到的離子個(gè)數(shù)為N，總電荷量為Q，則Q=It…④
N=

Q

q

…⑤
M=Nm…⑥
由④⑤⑥式解得：M=

mIt

q

（3）由①②式得：R=

1

B

2mU q

設(shè)m′為鈾238離子的質(zhì)量，由于電壓在U±△U范圍內(nèi)微小變化，鈾235離子在磁場(chǎng)中最大半徑為：Rmax=

1

B

2m(U+△U) q

鈾238離子在磁場(chǎng)中最小半徑為：Rmin=

1

B

2m′(U-△U) q

這兩種離子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的軌跡不發(fā)生交疊的條件為：R_max＜R_min
即：

1

B

2m(U+△U) q

＜

1

B

2m′(U-△U) q

則有：m（U+△U）＜m′（U-△U）
所以：

△U

U

＜

m′-m

m′+m

其中鈾235離子質(zhì)量m=235u（u為原子質(zhì)量單位），其中鈾238離子質(zhì)量m′=238u
故

△U

U

＜

238u-235u

238u+235u

解得：

△U

U

＜0.63%
答：（1）加速電場(chǎng)的電壓為

qB2R2

2m

；
（2）在離子被收集的過(guò)程中任意時(shí)間t內(nèi)收集到離子的質(zhì)量為

mIt

q

；
（3）為使這兩種離子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的軌跡不發(fā)生交疊，

△U

U

應(yīng)小于0.63%．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了動(dòng)能定理及向心力公式的直接應(yīng)用，要求同學(xué)們知道要使兩種離子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的軌跡不發(fā)生交疊，則鈾235離子在磁場(chǎng)中最大半徑小于鈾238離子在磁場(chǎng)中最小半徑，難度適中．