Question

6．如圖甲所示，在平行邊界MN，PQ之間存在寬度為L(zhǎng)的勻強(qiáng)電場(chǎng)，電場(chǎng)周期性變化的規(guī)率如圖乙所示，取豎直向下為電場(chǎng)正方向；在平行邊界MN、EF之間存在寬度為s、方向垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域Ⅱ．在PQ右側(cè)有寬度足夠大、方向垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域Ⅰ．在區(qū)域Ⅰ中距PQ距離為L(zhǎng)的A點(diǎn)，有一質(zhì)量為m、電荷量為q、重力不計(jì)的帶正電粒子以初速度v₀沿豎直向上方向開始運(yùn)動(dòng)，以此作為計(jì)時(shí)起點(diǎn)，再經(jīng)過(guò)一段時(shí)間粒子又恰好回到A點(diǎn)，如此循環(huán)，粒子循環(huán)運(yùn)動(dòng)一周，電場(chǎng)恰好變化一個(gè)周期，已知粒子離開區(qū)域Ⅰ進(jìn)入電場(chǎng)時(shí)，速度恰好與電場(chǎng)方向垂直，sin53°=0.8，cos53°=0.6．
（1）求區(qū)域I的磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小B₁
（2）若E₀=$\frac{4m{v}_{0}^{2}}{3pL}$，要實(shí)現(xiàn)上述循環(huán)，確定區(qū)域Ⅱ的磁場(chǎng)寬度s的最小值以及磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小B₂．
（3）若E₀=$\frac{4m{v}_{0}^{2}}{3pL}$，要實(shí)現(xiàn)上述循環(huán)，求電場(chǎng)的變化周期T．

Answer 1

分析 （1）粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，根據(jù)幾何關(guān)系求出半徑，再用半徑公式求出${B}_{1}^{\;}$
（2）粒子在電場(chǎng)中類平拋運(yùn)動(dòng)，進(jìn)入磁場(chǎng)區(qū)域Ⅱ做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，畫出軌跡，求出在Ⅱ區(qū)域的半徑及半徑公式求出${B}_{2}^{\;}$
（3）根據(jù)題意粒子運(yùn)動(dòng)周期與電場(chǎng)變化的周期相等，求出粒子一周期運(yùn)動(dòng)時(shí)間，得到結(jié)果

解答 解：（1）粒子在Ⅰ區(qū)域做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為：R=L
由牛頓第二定律知：$q{v}_{0}^{\;}{B}_{1}^{\;}=m\frac{{v}_{0}^{2}}{R}$
聯(lián)立解得：${B}_{1}^{\;}=\frac{m{v}_{0}^{\;}}{qL}$
（2）粒子在電場(chǎng)中做類平拋運(yùn)動(dòng)，離開電場(chǎng)時(shí)沿電場(chǎng)方向的速度為：
${v}_{y}^{\;}=at=\frac{q{E}_{0}^{\;}}{m}×\frac{L}{{v}_{0}^{\;}}=\frac{4}{3}{v}_{0}^{\;}$
離開電場(chǎng)時(shí)速度的偏轉(zhuǎn)角為θ，有：$tanθ=\frac{{v}_{y}^{\;}}{{v}_{0}^{\;}}=\frac{4}{3}，θ=53°$
所以離子離開電場(chǎng)時(shí)的速度為：$v=\frac{{v}_{0}^{\;}}{cos53°}=\frac{5}{3}{v}_{0}^{\;}$
畫出粒子運(yùn)動(dòng)軌跡的示意圖如圖所示，粒子在Ⅱ區(qū)域做圓周運(yùn)動(dòng)的圓心${O}_{2}^{\;}$與在Ⅰ區(qū)域做圓周運(yùn)動(dòng)的圓心${O}_{1}^{\;}$的連線必須與邊界垂直才能完成上述運(yùn)動(dòng)，由幾何關(guān)系知粒子在Ⅱ區(qū)域做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為：
$r=\frac{L-\frac{2}{3}L}{cos53°}=\frac{5}{9}L$
所以$S≥r（1-sin53°）=\frac{L}{9}$
$r=\frac{mv}{q{B}_{2}^{\;}}$
解得：${B}_{2}^{\;}=\frac{3m{v}_{0}^{\;}}{qL}$
（3）電場(chǎng)變化的周期等于粒子運(yùn)動(dòng)的周期
粒子在Ⅰ區(qū)域運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為：${t}_{1}^{\;}=\frac{{T}_{1}^{\;}}{2}=\frac{πm}{q{B}_{1}^{\;}}=\frac{πL}{{v}_{0}^{\;}}$
粒子在電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為：${t}_{2}^{\;}=\frac{2L}{{v}_{0}^{\;}}$
l粒子在Ⅱ區(qū)域做圓周運(yùn)動(dòng)為：${t}_{3}^{\;}=\frac{37}{180}×\frac{2πr}{v}=\frac{37πL}{270{v}_{0}^{\;}}$
所以周期為：$T={t}_{1}^{\;}+{t}_{2}^{\;}+{t}_{3}^{\;}=\frac{307π+540}{270{v}_{0}^{\;}}L$
答：（1）求區(qū)域I的磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為$\frac{m{v}_{0}^{\;}}{qL}$
（2）若E₀=$\frac{4m{v}_{0}^{2}}{3pL}$，要實(shí)現(xiàn)上述循環(huán)，確定區(qū)域Ⅱ的磁場(chǎng)寬度s的最小值$\frac{L}{9}$以及磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小${B}_{2}^{\;}$為$\frac{3m{v}_{0}^{\;}}{qL}$．
（3）若E₀=$\frac{4m{v}_{0}^{2}}{3pL}$，要實(shí)現(xiàn)上述循環(huán)，求電場(chǎng)的變化周期T為$\frac{307π+540}{270{v}_{0}^{\;}}L$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了粒子在電場(chǎng)中的類平拋運(yùn)動(dòng)和在磁場(chǎng)中的勻速圓周運(yùn)動(dòng)，關(guān)鍵是畫出運(yùn)動(dòng)軌跡，選擇合適的規(guī)律解題．