Question

【題目】如圖所示，豎直放置的光滑S形軌道，其核心部分是由兩個(gè)半徑均為的圓形軌道構(gòu)成，軌道進(jìn)口A與彈簧槍水平連接，出口B在豎直平面內(nèi)的直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)處，且與x軸相切，在坐標(biāo)系中放一擋板，其形狀滿足方程單位：。一質(zhì)量為的小球作質(zhì)點(diǎn)看待被彈簧槍發(fā)射后沿軌道運(yùn)動(dòng)，經(jīng)過出口B時(shí)，對(duì)管道的下壁的壓力為，最終與擋板碰撞。已知。

求小球經(jīng)過B點(diǎn)時(shí)的速度大小；

求小球離開出口B到與擋板碰撞所用的時(shí)間；

若要使小球與擋板碰撞時(shí)的動(dòng)能最小，發(fā)射小球前彈簧的彈性勢能是多大？

Answer 1

【答案】(1) 2m/s(2) 1s(3) 105J。

【解析】

(1)小球經(jīng)過B點(diǎn)時(shí)由合力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律求小球經(jīng)過B點(diǎn)時(shí)的速度大小vB；

(2)小球離開出口B后做平拋運(yùn)動(dòng)，根據(jù)分位移公式和方程y=-x2+9結(jié)合，來求解小球從B到與擋板碰撞所用的時(shí)間t0；

(3)對(duì)于小球從釋放到B的過程，運(yùn)用機(jī)械能守恒定律列式，結(jié)合平拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律得到小球與擋板碰撞時(shí)的動(dòng)能與平拋初速度的關(guān)系，由數(shù)學(xué)知識(shí)求解小球與擋板碰撞時(shí)的動(dòng)能最小值，并由機(jī)械能守恒定律求發(fā)射小球前彈簧的彈性勢能Ep。

（1）小球經(jīng)過B點(diǎn)時(shí)，由牛頓第三定律知：

在B點(diǎn)，對(duì)小球，由牛頓第二定律得：

代入數(shù)據(jù)解得：

（2）小球離開出口B后做平拋運(yùn)動(dòng)，則有：

。

根據(jù)有：

聯(lián)立解得：

（3）對(duì)于平拋運(yùn)動(dòng)過程，有：

結(jié)合

得：

根據(jù)機(jī)械能守恒定律得小球與擋板碰撞時(shí)的動(dòng)能為：

聯(lián)立得：

根據(jù)數(shù)學(xué)知識(shí)知，當(dāng)時(shí)，即時(shí)，動(dòng)能最小，此時(shí)發(fā)射小球前彈簧的彈性勢能為：

解得：