Question

從 z軸上的 O點(diǎn)發(fā)射一束電量為q（＞0）、質(zhì)量為m的帶電粒子，它們速度統(tǒng)方向分布在以O點(diǎn)為頂點(diǎn)、z軸為對(duì)稱軸的一個(gè)頂角很小的錐體內(nèi)（如圖所示），速度的大小都等于v．試設(shè)計(jì)一種勻強(qiáng)磁場(chǎng)，能使這束帶電粒子會(huì)聚于z軸上的另一點(diǎn)M，M點(diǎn)離開O點(diǎn)的經(jīng)離為d．要求給出該磁場(chǎng)的方向、磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小和最小值．不計(jì)粒子間的相互作用和重力的作用．

Answer 1

設(shè)計(jì)的磁場(chǎng)為沿軸方向的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，點(diǎn)和點(diǎn)都處于這個(gè)磁場(chǎng)中。下面我們根據(jù)題意求出這種磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小。粒子由點(diǎn)射出就進(jìn)入了磁場(chǎng)，可將與軸成角的速度分解成沿磁場(chǎng)方向的分速度和垂直于磁場(chǎng)方向的分速度（見圖預(yù)解20-4-1），注意到很小，得

                                （1）

                               （2）

粒子因具有垂直磁場(chǎng)方向的分速度，在洛侖茲力作用下作圓周運(yùn)動(dòng)，以表示圓周的半徑，有

          

圓周運(yùn)動(dòng)的周期

由此得

                                     （3）

可見周期與速度分量無關(guān)。

粒子因具有沿磁場(chǎng)方向的分速度，將沿磁場(chǎng)方向作勻速直線運(yùn)動(dòng)。由于兩種分速度同時(shí)存在，粒子將沿磁場(chǎng)方向作螺旋運(yùn)動(dòng)，螺旋運(yùn)動(dòng)螺距為

                      （4）

由于它們具有相同的，因而也就具有相同的螺距；又由于這些粒子是從同一點(diǎn)射出的，所以經(jīng)過整數(shù)個(gè)螺距（最小是一個(gè)螺距）又必定會(huì)聚于同一點(diǎn)。只要使等于一個(gè)螺距或一個(gè)螺距的（整數(shù)）倍，由點(diǎn)射出的粒子繞磁場(chǎng)方向旋轉(zhuǎn)一周（或若干周后）必定會(huì)聚于點(diǎn)，如圖20-4-2所示。所以

     ， ＝1，2，3，…     （5）

由式（3）、（4）、（5）解得

         ， ＝1，2，3，…                          （6）

這就是所要求磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小，最小值應(yīng)取＝1，所以磁感應(yīng)強(qiáng)度的最小值為

         。                                    （7）

評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)：本題20分。

磁場(chǎng)方向2分，式（3）、（4）各3分，式（5）5分，求得式（6）給5分，求得式（7）再給2分。