Question

如圖，一個(gè)質(zhì)量為M的人，站在臺(tái)秤上，手拿一個(gè)質(zhì)量為m，懸線長(zhǎng)為R的小球，在豎直平面內(nèi)作圓周運(yùn)動(dòng)，且擺球恰能通過(guò)圓軌道最高點(diǎn)，求臺(tái)秤示數(shù)的變化范圍．

Answer 1

分析：知道小球恰好能通過(guò)圓軌道的最高點(diǎn)的臨界條件．
小球運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)時(shí)懸線對(duì)人的拉力最大，且方向豎直向下，故臺(tái)秤示數(shù)最大，
根據(jù)機(jī)械能守恒和牛頓第二定律求出拉力在豎直方向的最小值．

解答：解：小球恰好能通過(guò)圓軌道的最高點(diǎn)，
由牛頓第二定律得：mg=m

v 2 0

R

，
小球在圓軌道最高點(diǎn)時(shí)的速度v₀=

gR

，
小球由最高點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)過(guò)程中，只有重力做功，機(jī)械能守恒，
由機(jī)械能守恒定律得：

1

2

mv₀²+mg?2R=

1

2

mv²，
解得，小球到達(dá)最低點(diǎn)時(shí)的速度：v=

5gR

；
小球運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)時(shí)懸線對(duì)人的拉力最大，且方向豎直向下，故臺(tái)秤示數(shù)最大，
小球通過(guò)最低點(diǎn)時(shí)，由牛頓第二定律得：T-mg=m

v2

R

，解得：T=6mg，
臺(tái)秤的最大示數(shù)：F_最大=（M+6m）g，
小球運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)時(shí)，細(xì)線中拉力為零，臺(tái)秤的示數(shù)為Mg，但是不是最小，當(dāng)小球處于如圖所示狀態(tài)時(shí)，

設(shè)其速度為v₁，由機(jī)械能守恒定律得：

1

2

mv₁²=

1

2

mv₀²+mgR（1-cosθ），
由牛頓第二定律得：T′+mgRcosθ=m

v 2 1

R

，
解得，懸線拉力：T′=3mg（1-cosθ）
其分力：T_y=Tcosθ=3mgcosθ-3mgcos²θ
當(dāng)cosθ=

1

2

，即θ=60°時(shí)，
臺(tái)秤的最小示數(shù)為：F_最小=Mg-

3

4

mg=Mg-0.75mg，
臺(tái)秤示數(shù)的變化范圍為Mg-0.75mg≤F≤=（M+6m）g；
答：臺(tái)秤示數(shù)的變化范圍為Mg-0.75mg≤F≤（M+6m）g．

點(diǎn)評(píng)：對(duì)物體進(jìn)行受力分析，運(yùn)用牛頓第二定律列出力與力的關(guān)系，根據(jù)題目的條件中找到臨界狀態(tài)．對(duì)于圓周運(yùn)動(dòng)的受力問(wèn)題，我們要找出向心力的來(lái)源．