Question

4．在真空中存在正交的勻強電場和勻強磁場，所建坐標系xOy平面與勻強電場平行，與勻強磁場垂直，如圖所示．電場強度的方向沿x軸正方向，以圖示方向我磁場和電場的正方向，電場強度和磁感應強度分別以圖乙、丙所示規(guī)律變化，其中電場強度E₀=$\frac{m{v}_{0}}{2q{t}_{0}}$，磁感應強度B₀=$\frac{πm}{q{t}_{0}}$，質量為m、電荷量為q的帶正電粒子，在t=0時刻乙初速度v₀從坐標原點沿y軸正方向開始運動，粒子重力不計，m、q、v₀、t₀，已知，

（1）求t=4t₀時刻粒子的速度v大��；
（2）若在0-6t₀時間內，帶電粒子能垂直打在平行x軸放置的擋板MN上的P點，試求帶電粒子打擊擋板時的位置坐標P及粒子從原點O運動到P的時間t．

Answer 1

分析 （1）根據粒子只受到洛倫茲力作用下，做勻速圓周運動，結合周期公式，及牛頓第二定律與運動學公式，即可求解；
（2）根據圓周運動的半徑公式，結合幾何關系，及位移公式，即可求解．

解答 解：（1）只有磁場時，粒子在磁場中做勻速圓周運動，設周期為T，則有：
T=$\frac{2πm}{q{B}_{0}}$=2t₀…①

帶電粒子在3nt₀～（3n+1）t₀（n=0，1，2…）時間段內只受電場力，且只有電場時粒子的運動連接起來才成為完整的類平拋運動，粒子在t=4t₀時間內受電場力的運動時間t′=2t₀．
設t=4t₀時粒子速度v與v₀成θ角，則有：v_x=at′…②
$v=\sqrt{{v}_{0}^{2}+{v}_{x}^{2}}$…③
由牛頓第二定律，則有：a=$\frac{q{E}_{0}}{m}$…④
且tanθ=$\frac{{v}_{x}}{{v}_{0}}$…⑤
聯立②③④⑤代入E₀解得：v=$\sqrt{2}$v₀，θ=45°…⑥
（2）若在0～6t₀時間內，帶電粒子垂直打在擋板MN上，則粒子一定是沿逆時針方向做勻速圓周運動時打在擋板MN上，故在4t₀～6t₀時間內打在擋板上，如圖所示．軌道半徑設為R₂，則有：$qv{B}_{0}=m\frac{{v}^{2}}{{R}_{2}}$…⑦
由⑥式可知，粒子速度只需要偏轉45⁰角即可垂直打在到擋板上，故偏轉時間為：
t″=$\frac{T}{8}$=$\frac{{t}_{0}}{4}$…⑧
粒子從原點O運動到P點所需時間為：t=4t₀+t″=$\frac{17}{4}{t}_{0}$=4.25t₀…⑨
P點橫坐標為：x=x₁+R₂（1-cos45°）…⑩
縱坐標為：y=y₁+R₂sin45°…⑪
其中類平拋運動在t′=2t₀時間內的位移我：x₁=$\frac{1}{2}at{′}^{2}$…⑫
y₁=v₀t′…⑬
聯立④⑦⑩⑪⑫⑬解得：x=$（1+\frac{1}{π}（\sqrt{2}-1））{v}_{0}{t}_{0}$，
y=（2+$\frac{1}{π}$）v₀t₀
則P點坐標為（$（1+\frac{1}{π}（\sqrt{2}-1））{v}_{0}{t}_{0}$，（2+$\frac{1}{π}$）v₀t₀）．
答：（1）則t=4t₀時刻粒子的速度v大小$\sqrt{2}$v₀；
（2）若在0-6t₀時間內，帶電粒子能垂直打在平行x軸放置的擋板MN上的P點，試求帶電粒子打擊擋板時的位置坐標P（$（1+\frac{1}{π}（\sqrt{2}-1））{v}_{0}{t}_{0}$，（2+$\frac{1}{π}$）v₀t₀），及粒子從原點O運動到P的時間4.25t₀

點評 考查帶電粒子在復合場中的綜合應用，掌握勻速圓周運動的周期與半徑公式，同時運用牛頓第二定律與運動學公式，注意畫出正確的運動軌跡圖是解題的關鍵．