Question

4．在真空中存在正交的勻強(qiáng)電場(chǎng)和勻強(qiáng)磁場(chǎng)，所建坐標(biāo)系xOy平面與勻強(qiáng)電場(chǎng)平行，與勻強(qiáng)磁場(chǎng)垂直，如圖所示．電場(chǎng)強(qiáng)度的方向沿x軸正方向，以圖示方向我磁場(chǎng)和電場(chǎng)的正方向，電場(chǎng)強(qiáng)度和磁感應(yīng)強(qiáng)度分別以圖乙、丙所示規(guī)律變化，其中電場(chǎng)強(qiáng)度E₀=$\frac{m{v}_{0}}{2q{t}_{0}}$，磁感應(yīng)強(qiáng)度B₀=$\frac{πm}{q{t}_{0}}$，質(zhì)量為m、電荷量為q的帶正電粒子，在t=0時(shí)刻乙初速度v₀從坐標(biāo)原點(diǎn)沿y軸正方向開(kāi)始運(yùn)動(dòng)，粒子重力不計(jì)，m、q、v₀、t₀，已知，

（1）求t=4t₀時(shí)刻粒子的速度v大小；
（2）若在0-6t₀時(shí)間內(nèi)，帶電粒子能垂直打在平行x軸放置的擋板MN上的P點(diǎn)，試求帶電粒子打擊擋板時(shí)的位置坐標(biāo)P及粒子從原點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到P的時(shí)間t．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)粒子只受到洛倫茲力作用下，做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，結(jié)合周期公式，及牛頓第二定律與運(yùn)動(dòng)學(xué)公式，即可求解；
（2）根據(jù)圓周運(yùn)動(dòng)的半徑公式，結(jié)合幾何關(guān)系，及位移公式，即可求解．

解答 解：（1）只有磁場(chǎng)時(shí)，粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，設(shè)周期為T，則有：
T=$\frac{2πm}{q{B}_{0}}$=2t₀…①

帶電粒子在3nt₀～（3n+1）t₀（n=0，1，2…）時(shí)間段內(nèi)只受電場(chǎng)力，且只有電場(chǎng)時(shí)粒子的運(yùn)動(dòng)連接起來(lái)才成為完整的類平拋運(yùn)動(dòng)，粒子在t=4t₀時(shí)間內(nèi)受電場(chǎng)力的運(yùn)動(dòng)時(shí)間t′=2t₀．
設(shè)t=4t₀時(shí)粒子速度v與v₀成θ角，則有：v_x=at′…②
$v=\sqrt{{v}_{0}^{2}+{v}_{x}^{2}}$…③
由牛頓第二定律，則有：a=$\frac{q{E}_{0}}{m}$…④
且tanθ=$\frac{{v}_{x}}{{v}_{0}}$…⑤
聯(lián)立②③④⑤代入E₀解得：v=$\sqrt{2}$v₀，θ=45°…⑥
（2）若在0～6t₀時(shí)間內(nèi)，帶電粒子垂直打在擋板MN上，則粒子一定是沿逆時(shí)針?lè)较蜃鰟蛩賵A周運(yùn)動(dòng)時(shí)打在擋板MN上，故在4t₀～6t₀時(shí)間內(nèi)打在擋板上，如圖所示．軌道半徑設(shè)為R₂，則有：$qv{B}_{0}=m\frac{{v}^{2}}{{R}_{2}}$…⑦
由⑥式可知，粒子速度只需要偏轉(zhuǎn)45⁰角即可垂直打在到擋板上，故偏轉(zhuǎn)時(shí)間為：
t″=$\frac{T}{8}$=$\frac{{t}_{0}}{4}$…⑧
粒子從原點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到P點(diǎn)所需時(shí)間為：t=4t₀+t″=$\frac{17}{4}{t}_{0}$=4.25t₀…⑨
P點(diǎn)橫坐標(biāo)為：x=x₁+R₂（1-cos45°）…⑩
縱坐標(biāo)為：y=y₁+R₂sin45°…⑪
其中類平拋運(yùn)動(dòng)在t′=2t₀時(shí)間內(nèi)的位移我：x₁=$\frac{1}{2}at{′}^{2}$…⑫
y₁=v₀t′…⑬
聯(lián)立④⑦⑩⑪⑫⑬解得：x=$（1+\frac{1}{π}（\sqrt{2}-1））{v}_{0}{t}_{0}$，
y=（2+$\frac{1}{π}$）v₀t₀
則P點(diǎn)坐標(biāo)為（$（1+\frac{1}{π}（\sqrt{2}-1））{v}_{0}{t}_{0}$，（2+$\frac{1}{π}$）v₀t₀）．
答：（1）則t=4t₀時(shí)刻粒子的速度v大小$\sqrt{2}$v₀；
（2）若在0-6t₀時(shí)間內(nèi)，帶電粒子能垂直打在平行x軸放置的擋板MN上的P點(diǎn)，試求帶電粒子打擊擋板時(shí)的位置坐標(biāo)P（$（1+\frac{1}{π}（\sqrt{2}-1））{v}_{0}{t}_{0}$，（2+$\frac{1}{π}$）v₀t₀），及粒子從原點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到P的時(shí)間4.25t₀

點(diǎn)評(píng) 考查帶電粒子在復(fù)合場(chǎng)中的綜合應(yīng)用，掌握勻速圓周運(yùn)動(dòng)的周期與半徑公式，同時(shí)運(yùn)用牛頓第二定律與運(yùn)動(dòng)學(xué)公式，注意畫(huà)出正確的運(yùn)動(dòng)軌跡圖是解題的關(guān)鍵．