Question

2．如圖所示，水平光滑路面CD的右側有一質量為M=2kg的長木板處于靜止狀態(tài)，一質量為m=3kg的物塊（可視為質點）以V₀=10m/s的初速度滑上長木板M的右端，兩者共速時長木板還未與平臺碰撞，長木板M的上表面與固定平臺等高．平臺的上表面AB光滑，光滑半圓軌道AFE豎直固定在平臺上，圓軌道半徑R=0.4m，最低點與平臺AB相切于A點．當長木板與平臺的豎直墻壁碰撞后即被粘在墻壁上，物塊與長木板之間的動摩擦因數(shù)為μ=0.5，取g=10m/s²．
（1）求物塊與長木板共速時的速度大小及長木板的最小長度？
（2）物塊恰好從E點離開圓弧軌道時長木板的長度？
（3）討論長木板的長度在什么范圍，物塊能滑上A點且在圓軌道運動時不脫離圓軌道？

Answer 1

分析 （1）對物塊在木板上運動過程根據(jù)動量守恒定律和功能關系可求得木板的最小長度；
（2）根據(jù)重力恰好充當向心力即可求得物塊到越過最高點的速度，再對木板與墻相撞后過程分析，根據(jù)動能定理可求得物塊在木板上滑上的距離，則可求得總長度；
（3）根據(jù)物體不會離開軌道的條件分析，可知，要使物塊不離開軌道，可以超過最高點，根據(jù)（2）中分析可求得木板的長度范圍；物塊也可不超過R高度，同理由動能定理可求得木板的長度范圍．

解答 解：（1）設向左為正方向，則對物塊和長木板由動量守恒定律可知：
mv₀=（M+m）v
代入數(shù)據(jù)解得：v=6m/s；
若物塊恰好到達最左側時達到最大速度，則根據(jù)能量守恒定律可知：
$\frac{1}{2}$mv₀²=$\frac{1}{2}$（M+m）v²+μmgL
代入數(shù)據(jù)解得：L=4m；
（2）要使物塊恰好從E點離開，則此時重力恰好充當向心力；則有：
mg=m$\frac{{v}_{1}^{2}}{R}$
再對木塊離開木板到達最高點過程分析，由動能定理可知：
-μmgL′-mg2R=$\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}$-$\frac{1}{2}$mv²；
聯(lián)立并代入數(shù)據(jù)解得：L′=2m；
故木板總長度為：L_總=L+L′=4+2=6m；
（3）由2的分析可知，當木板總長度L_總＜6m時，物體一定可以從最高點飛出，若物塊恰好到達$\frac{R}{2}$位置時，物體恰好也不能離開曲面；則由動能定理可知：
-μmgL″-mgR=0-$\frac{1}{2}$mv²；
代入數(shù)據(jù)解得：L″=3m；
此時總長度為：L_總=L+L″=4+3=7m；
要想使物塊上升高度不超過R，則長度應滿足L_總＞7m；
答：（1）求物塊與長木板共速時的速度大小為6m/s； 長木板的最小長度為4m．
（2）物塊恰好從E點離開圓弧軌道時長木板的長度為6m
（3）要使物塊能滑上A點且在圓軌道運動時不脫離圓軌道應滿足：L_總＜6m或L_總＞6m

點評 本題綜合考查了動量守恒定律、動能定理以及向心力公式，要注意明確物理過程，并能通過分析選擇合理的物理規(guī)律；同時在解題時一定注意分析題目中隱含的信息，如物體恰能從E點飛出，說明物體在最高點恰好做圓周運動，重力充當向心力．