Question

16．飛船沿半徑為R的圓周繞地球運動其周期為T，地球半徑為R₀，如果飛船要返回地面，可在軌道上某點A處將速率降到適當(dāng)數(shù)值，從而使飛船沿著以地心為焦點的橢圓軌道運行，橢圓于地球表面在B點相切（如圖所示），已知地球表面的重力加速度為g₀，求：
（1）飛船由A點到B點所需的時間；
（2）飛船沿橢圓軌道運行時經(jīng)A點的加速度．

Answer 1

分析 根據(jù)開普勒第三定律，結(jié)合橢圓軌道半長軸的大小，求出飛船在橢圓軌道上的周期，從而求出飛船由A點到B點所需的時間．
根據(jù)萬有引力的大小，結(jié)合萬有引力等于重力，通過牛頓第二定律求出A點的加速度．

解答 解：（1）根據(jù)題意得橢圓軌道的半長軸r=$\frac{R+{R}_{0}}{2}$，
根據(jù)開普勒第三定律得，$\frac{{R}^{3}}{{T}^{2}}=\frac{{r}^{3}}{T{′}^{2}}$
解得T′=$\sqrt{（\frac{R+{R}_{0}}{2R}）^{3}T}$，
則飛船由A點到B點的運動時間t=$\frac{T′}{2}$=$\frac{1}{2}$$\sqrt{（\frac{R+{R}_{0}}{2R}）^{3}T}$．
（2）飛船在軌道A點所受的萬有引力$F=\frac{GMm}{{R}^{2}}$，又$GM={g}_{0}{{R}_{0}}^{2}$，
根據(jù)牛頓第二定律得，加速度a=$\frac{F}{m}=\frac{GM}{{R}^{2}}=\frac{{g}_{0}{{R}_{0}}^{2}}{{R}^{2}}$．
答：（1）飛船由A點到B點所需的時間為$\frac{1}{2}$$\sqrt{（\frac{R+{R}_{0}}{2R}）^{3}T}$；
（2）飛船沿橢圓軌道運行時經(jīng)A點的加速度為$\frac{{g}_{0}{{R}_{0}}^{2}}{{R}^{2}}$．

點評 解決本題的關(guān)鍵知道飛船由A點到B點所需的時間應(yīng)是橢圓軌道的半個周期．關(guān)鍵掌握開普勒第三定律，并能靈活運用．