Question

1．如圖所示，傾角為30°的粗糙斜面軌道AB與半徑R=0.4m的光滑軌道BDC在B點(diǎn)平滑相連，兩軌道處于同一豎直平面內(nèi)，O點(diǎn)為圓軌道圓心，DC為圓軌道直徑且處于豎直方向，A、C兩點(diǎn)等高，E、O兩點(diǎn)等高．∠BOD=30°，質(zhì)量m=2kg的滑塊從A點(diǎn)以速度v₀（未知）沿斜面下滑，剛好能通過(guò)C點(diǎn)，滑塊與斜面AB間動(dòng)摩擦因數(shù)μ=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，g取10m/s²．求：
（1）滑塊經(jīng)過(guò)E點(diǎn)時(shí)對(duì)軌道的壓力；
（2）滑塊從A點(diǎn)滑下時(shí)初速度v₀的大�。�

Answer 1

分析 （1）滑塊剛好能通過(guò)C點(diǎn)，在C點(diǎn)由重力提供向心力，由牛頓第二定律可求得滑塊通過(guò)C點(diǎn)的速度．從E到C的過(guò)程，運(yùn)用機(jī)械能守恒定律可求得滑塊通過(guò)E點(diǎn)的速度．在E點(diǎn)，由軌道的支持力提供向心力，由牛頓運(yùn)動(dòng)定律求塊經(jīng)過(guò)E點(diǎn)時(shí)對(duì)軌道的壓力；
（2）研究從A到C的過(guò)程，由動(dòng)能定理求滑塊從A點(diǎn)滑下時(shí)初速度v₀的大�。�

解答 解：（1）滑塊剛好能通過(guò)C點(diǎn)，在C點(diǎn)由重力提供向心力，由牛頓第二定律得
    mg=m$\frac{{v}_{C}^{2}}{R}$
可得 v_C=$\sqrt{gR}$=$\sqrt{10×0.4}$=2m/s
滑塊從E到C過(guò)程，根據(jù)機(jī)械能守恒定律得 mgR+$\frac{1}{2}m{v}_{C}^{2}$=$\frac{1}{2}m{v}_{E}^{2}$
在E點(diǎn)，由牛頓第二定律得 N=m$\frac{{v}_{E}^{2}}{R}$
聯(lián)立解得 N=3mg=3×2×10N=60N
根據(jù)牛頓第三定律可知，滑塊經(jīng)過(guò)E點(diǎn)時(shí)對(duì)軌道的壓力 N′=N=60N
（2）設(shè)AB長(zhǎng)為L(zhǎng)，則有 Lsin30°=R+Rcos30°
可得 L=（0.8+0.4$\sqrt{3}$）m
滑塊從A到C過(guò)程，根據(jù)動(dòng)能定理有：
-μmgcos30°•L=$\frac{1}{2}m{v}_{C}^{2}$-$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$
代入數(shù)據(jù)解得 v₀=$\sqrt{16+6\sqrt{3}}$m/s
答：（1）滑塊經(jīng)過(guò)E點(diǎn)時(shí)對(duì)軌道的壓力是60N；
（2）滑塊從A點(diǎn)滑下時(shí)初速度v₀的大小是$\sqrt{16+6\sqrt{3}}$m/s．

點(diǎn)評(píng) 本題是機(jī)械能守恒定律、動(dòng)能定理與向心力及幾何知識(shí)的綜合應(yīng)用，關(guān)鍵要注意挖掘隱含的臨界條件，知道小球通過(guò)豎直平面圓軌道最高點(diǎn)時(shí)，重力恰好提供向心力．