Question

（浙江省四校聯(lián)合體2011屆高三下學(xué)期開學(xué)測試?yán)砜凭C合試題）如圖所示，兩足夠長平行光滑的金屬導(dǎo)軌MN、PQ相距為L，導(dǎo)軌平面與水平面夾角a=30°，導(dǎo)軌電阻不計(jì)．磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場垂直導(dǎo)軌平面向上，長為L的金屬棒ab垂直于MN、PQ放置在導(dǎo)軌上，且始終與導(dǎo)軌接觸良好，金屬棒的質(zhì)量為m、電阻為R．兩金屬導(dǎo)軌的上端連接右端電路，燈泡的電阻R_L=4R，定值電阻R₁=2R，電阻箱電阻調(diào)到使R₂=12R，重力加速度為g，現(xiàn)將金屬棒由靜止釋放，試求：
（1）金屬棒下滑的最大速度為多少？
（2）R₂為何值時(shí)，其消耗的功率最大？最大的功率為多少？

Answer 1

分析：（1）金屬棒ab先加速下滑，加速度減小，后勻速下滑，速度達(dá)到最大．由歐姆定律、感應(yīng)電動(dòng)勢和安培力公式推導(dǎo)出安培力的表達(dá)式，根據(jù)平衡條件求解最大速度．
（2）R₂消耗的功率P=

U2

R2

，而U=IR_并，金屬棒勻速下滑時(shí)，重力的功率等于電路的電功率，得到mgsin30°?v=

B2L2v

3R+R并

聯(lián)立得到R₂功率P與R₂的關(guān)系式，由數(shù)學(xué)知識求最值．

解答：解：
（1）金屬棒ab先加速下滑，加速度減小，后勻速下滑，速度達(dá)到最大．設(shè)最大速度為v_m．整個(gè)電路總電阻
    R_總=R+R₁+

RLR2

RL+R2

=6R
由E=BLv_m，I=

E

R總

，F(xiàn)=BIL，得到安培力F=

B2L2vm

R總

根據(jù)平衡條件得  mgsin30°=F
代入解得   金屬棒下滑的最大速度v_m=

3mgR

B2L2

．
（2）R₂消耗的功率P=

U2

R2

，而U=IR_并=

R并

R并+3R

?BLv，R_并=

4R?R2

4R+R2

又金屬棒勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)，mgsin30°=

B2L2v

3R+R并

代入得到
     P=

(mgsin30°)2

B2L2

?

16R2R2

(4R+R2)2

=

m2g2

4B2L2

?

16R2

16R2 R2 +8R+R2

由數(shù)學(xué)知識得：當(dāng)

16R2

R2

=R2時(shí)，即R₂=4R時(shí)，R₂消耗的功率P最大，最大值為P_m=

m2g2R

4B2L2

．
答：（1）金屬棒下滑的最大速度為

3mgR

B2L2

．
    （2）R₂=4R時(shí)，R₂消耗的功率P最大，最大值為P_m=

m2g2R

4B2L2

．

點(diǎn)評：本題對綜合應(yīng)用電路知識、電磁感應(yīng)知識和數(shù)學(xué)知識的能力要求較高，難度較大，但第（1）問是常規(guī)題，要得全分．