Question

16．小球P用長(zhǎng)L=1m的細(xì)繩系著，在水平面內(nèi)繞O點(diǎn)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，其角速度ω=2πrad/s．另一質(zhì)量m=1kg的小球Q放在高出水平面h=1.25m的粗糙水平槽上，槽與繩平行，小球Q與槽之間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ=0.1，槽的端點(diǎn)A在O點(diǎn)正上方．當(dāng)小球P運(yùn)動(dòng)到圖示位置時(shí)，小球Q以初速度v₀向A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)然后做平拋運(yùn)動(dòng)，Q落到水平面時(shí)P恰好與它相碰．（g取10m/s²）求：
（1）若P與Q相碰時(shí)還沒轉(zhuǎn)夠一周，則Q的初速度v₀和到達(dá)A的速度 v_A各為多少；
（2）若P與Q相碰時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)的時(shí)間大于一個(gè)周期，求Q運(yùn)動(dòng)到A點(diǎn)的時(shí)間和相應(yīng)的Q在桌面上滑行的距離分別滿足什么關(guān)系？

Answer 1

分析 （1）若沒轉(zhuǎn)夠一周，則P轉(zhuǎn)動(dòng)正好是半周，由其周期可得轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)間，結(jié)合Q的平拋規(guī)律，依據(jù)運(yùn)動(dòng)的等時(shí)性，可得，小球Q做平拋運(yùn)動(dòng)，由平拋規(guī)律可得Q的初速度v₀，進(jìn)而可得到達(dá)A的速度v_A．
（2）若P與Q相碰時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)的時(shí)間大于一個(gè)周期，則其轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)間為（n+$\frac{1}{2}$）個(gè)周期，結(jié)合Q的平拋規(guī)律，依據(jù)運(yùn)動(dòng)的等時(shí)性，可得Q的初速度v₀，進(jìn)而求Q運(yùn)動(dòng)到A點(diǎn)的時(shí)間和相應(yīng)的Q在桌面上滑行的距離關(guān)系．

解答 解：
（1）小球Q做平拋運(yùn)動(dòng)，由平拋規(guī)律可得：
$h=\frac{1}{2}g{t}^{2}$，
L=v_At，
解得：
${v}_{A}=L\sqrt{\frac{g}{2h}}=1×\sqrt{\frac{10}{2×1.25}}=2m/s$．
t=0.5s，
小球的加速度為：
a=μg=0.1×10=1m/s²，
由運(yùn)動(dòng)學(xué)：
v_A=v₀-at₁，
解得：
v₀=2+t₁，
又若P與Q相碰時(shí)還沒轉(zhuǎn)夠一周，則P轉(zhuǎn)動(dòng)正好是半周，則其平拋運(yùn)動(dòng)時(shí)間為半個(gè)周期：
${t}_{0}=\frac{π}{ω}$=0.5s，
由題意：
t₀=t+t₁，
解得：
t₁=0，
可得：
v₀=2m/s．
（2）若P與Q相碰時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)的時(shí)間大于一個(gè)周期，則其轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)間為（n+$\frac{1}{2}$）個(gè)周期，P的周期為$T=\frac{2π}{ω}=\frac{2π}{2π}=1s$，對(duì)Q依據(jù)平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律有：
$h=\frac{1}{2}g{t}^{2}$，
L=v₀t
Q運(yùn)動(dòng)到A點(diǎn)的時(shí)間為t₂，則：
$（n+\frac{1}{2}）×1=0.5+{t}_{2}$，
解得：
t₂=ns，（n=1、2、3…）．
Q在桌面上滑行的距離：
$x={v}_{0}{t}_{2}-\frac{1}{2}a{{t}_{2}}^{2}$=$2n-\frac{1}{2}{n}^{2}$，（n=1、2、3…）．
答：
（1）若P與Q相碰時(shí)還沒轉(zhuǎn)夠一周，則Q的初速度v₀=2m/s到達(dá)A的速度v_A=2m/s；
（2）若P與Q相碰時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)的時(shí)間大于一個(gè)周期，Q運(yùn)動(dòng)到A點(diǎn)的時(shí)間為ns，（n=1、2、3…），
相應(yīng)的Q在桌面上滑行的距離為$2n-\frac{1}{2}{n}^{2}$，（n=1、2、3…）．

點(diǎn)評(píng) 該題的關(guān)鍵是用好運(yùn)動(dòng)的等時(shí)性，以及掌握熟練平拋的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，其中運(yùn)動(dòng)的等時(shí)性在相遇問題中尤其重要．