Question

如圖所示，在正交坐標(biāo)系Oxyz的空間中，同時(shí)存在勻強(qiáng)電場和勻強(qiáng)磁場（x軸正方向水平向右，y軸正方向豎直向上）．勻強(qiáng)磁場的方向與Oxy平面平行，且與x軸的夾角為60°．一質(zhì)量為m、電荷量為+q的帶電質(zhì)點(diǎn)從y軸上的點(diǎn)P（0，h，0）沿平行于z軸正方向以速度v₀射入場區(qū)，重力加速度為g．
（1）若質(zhì)點(diǎn)恰好做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，求電場強(qiáng)度的大小及方向；
（2）若質(zhì)點(diǎn)恰沿v₀方向做勻速直線運(yùn)動(dòng)，求電場強(qiáng)度的最小值E_min及方向；
（3）若電場為第（2）問所求的情況，撤去磁場，當(dāng)帶電質(zhì)點(diǎn)P點(diǎn)射入時(shí)，求帶電粒子運(yùn)動(dòng)到Oxz平面時(shí)的位置．

Answer 1

分析：（1）質(zhì)點(diǎn)恰好做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，則由洛倫茲力提供向心力，電場力與重力相平衡，從而可確定電場強(qiáng)度的大小與方向；
（2）若質(zhì)點(diǎn)做直線運(yùn)動(dòng)，則一定是勻速直線運(yùn)動(dòng)，因?yàn)槁鍌惼澚κ艿剿俣鹊挠绊�，所以三力處于平衡狀態(tài)，根據(jù)力的合成與分解可列出洛倫茲力與重力的關(guān)系、電場力與重力的關(guān)系，從而確定電場強(qiáng)度的大小與方向；
（3）若撤去磁場，當(dāng)帶電質(zhì)點(diǎn)P點(diǎn)射入時(shí)，只受到電場力與電場力共同作用，質(zhì)點(diǎn)做類平拋運(yùn)動(dòng)，根據(jù)平拋運(yùn)動(dòng)處理規(guī)律來確定質(zhì)點(diǎn)的位置．

解答：解：（1）由于質(zhì)點(diǎn)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，所以質(zhì)點(diǎn)受到的電場力、重力二力平衡，即：qE-mg=0  
得：E=

mg

q

   向豎直向上   
（2）如圖甲所示，帶電質(zhì)點(diǎn)受重力mg、洛倫茲力f=qv₀B、電場力F=qE的作用做勻速直線運(yùn)動(dòng)，
根據(jù)幾何關(guān)系可知：當(dāng)電場力方向與洛倫茲力方向垂直時(shí)，場強(qiáng)有最小值E_min，
所以電場強(qiáng)度E_min的方向與xOz的夾角為60°，即與磁感應(yīng)強(qiáng)度B的方向相同． 
根據(jù)牛頓運(yùn)動(dòng)定律：qE_min-mgsin60°=0   ①
f_洛-mgcos60°=0     ②
由①②解得：Emin=

3 mg

2q

（3）如乙所示，撤去磁場后，帶電質(zhì)點(diǎn)受到重力mg和電場力qE_min作用，其合力與存在磁場時(shí)的洛倫茲力大小相等方向相反，即沿圖中PM方向，合力與v₀方向垂直．由②得   f洛=mgcos60°=

1

2

mg
設(shè)經(jīng)過時(shí)間t到達(dá)Oxz平面內(nèi)的點(diǎn)N（x，y，z），由運(yùn)動(dòng)的合成和分解可得：
沿v₀方向：z=v₀t③
沿PM方向：PM=

1

2

at2④
沿PM方向：PM=

h

sin30°

=2h⑤
聯(lián)立③～⑤解得：

x= 3 h z=2v0 2h g

所以．帶電質(zhì)點(diǎn)在N(

3

h，0，2v0

2h g

)的位置．
答：（1）若質(zhì)點(diǎn)恰好做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，求電場強(qiáng)度的大小

mg

q

及方向豎直向上；
（2）若質(zhì)點(diǎn)恰沿v₀方向做勻速直線運(yùn)動(dòng)，則電場強(qiáng)度的最小值為

3 mg

2q

及方向與xOz的夾角為60°，即與磁感應(yīng)強(qiáng)度B的方向相同；
（3）若電場為第（2）問所求的情況，撤去磁場，當(dāng)帶電質(zhì)點(diǎn)P點(diǎn)射入時(shí)，則帶電粒子運(yùn)動(dòng)到Oxz平面時(shí)在N(

3

h，0，2v0

2h g

)的位置．

點(diǎn)評(píng)：考查質(zhì)點(diǎn)當(dāng)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，則有電場力與重力相平衡，僅僅由洛倫茲力提供向心力；當(dāng)做直線運(yùn)動(dòng)時(shí)，則有電場力、洛倫茲力與重力處于平衡狀態(tài)，否則不可能做直線運(yùn)動(dòng)，原因是洛倫茲力受到速度的影響；當(dāng)只受到電場力與重力時(shí)，若初速度與兩力的合力相垂直，則做類平拋運(yùn)動(dòng)．