Question

10．某次科學研究中，宇宙飛船貼近一星球表面飛行，宇航員測出環(huán)繞星球一圈的時間為T．飛船著陸在星球赤道附近后發(fā)現(xiàn)該星球表面無大氣，宇航員在離星球表面高h（h遠小于星球半徑）處靜止釋放一個小鋼球，經(jīng)t時間落到星球表面，不考慮星球自轉(zhuǎn)的影響，
（1）求星球赤道附近的重力加速度g；
（2）求星球半徑R的大�。ㄗⅲ阂�力常量未知）
（3）若已知引力常量為G，求該星球的質(zhì)量M．

Answer 1

分析 根據(jù)h=$\frac{1}{2}$gt²得出星球表面的重力加速度．忽略星球自轉(zhuǎn)的影響，根據(jù)萬有引力等于重力列出等式表示出天體質(zhì)量．

解答 解：（1）宇航員在離星球表面高h（h遠小于星球半徑）處靜止釋放一個小鋼球，經(jīng)t時間落到星球表面，
根據(jù)h=$\frac{1}{2}$gt²得出星球表面的重力加速度g=$\frac{2h}{{t}^{2}}$…①
（2）飛船著陸前在星球表面附近繞星球做勻速圓周運動，根據(jù)萬有引力提供向心力得：$\frac{GMm}{{r}^{2}}$=m$\frac{{4π}^{2}}{{T}^{2}}$r
飛船軌道半徑大小等于星球的半徑大小，所以r=R，
M=$\frac{{{4π}^{2}r}^{3}}{{GT}^{2}}$…②
根據(jù)星球表面的小球所受重力等于星球?qū)π∏虻奈�引力得�?\frac{GMm}{{R}^{2}}$=mg…③
由①②③得：R=$\frac{{hT}^{2}}{{{2π}^{2}t}^{2}}$，M=$\frac{{{h}^{3}T}^{4}}{{2{Gπ}^{4}t}^{6}}$．

答：（1）求星球赤道附近的重力加速度是$\frac{2h}{{t}^{2}}$；
（2）星球半徑R的大小是$\frac{{hT}^{2}}{{{2π}^{2}t}^{2}}$
（3）若已知引力常量為G，該星球的質(zhì)量是$\frac{{{h}^{3}T}^{4}}{{2{Gπ}^{4}t}^{6}}$．

點評 重力加速度g是天體運動研究和天體表面宏觀物體運動研究聯(lián)系的物理量．本題要求學生掌握兩種等式：一是物體所受重力等于其吸引力；二是物體做勻速圓周運動其向心力由引力提供．