Question

5．模擬我國志愿者王躍曾與俄羅斯志愿者一起進行“火星500”的實驗活動．假設王躍登陸火星后，測得火星的半徑是地球半徑$\frac{1}{2}$，火星的質量是地球質量的$\frac{1}{9}$．已知地球表面的重力加速度是g，地球的半徑為R，王躍在地球表面能向上豎直跳起的最大高度是h，忽略自轉的影響，下列說法正確的是（　�。�

• A． 火星的密度為$\frac{2g}{3πGR}$
• B． 火星表面的重力加速度是$\frac{4}{9}$g
• C． 火星的第一宇宙速度與地球的第一宇宙速度相等
• D． 王躍以與在地球上相同的初速度在火星上起跳后，能達到的最大高度是$\frac{4}{9}$h

Answer 1

分析 求一個物理量之比，我們應該把這個物理量先表示出來，在進行之比，根據(jù)萬有引力等于重力，得出重力加速度的關系，根據(jù)萬有引力等于重力求出質量表達式，在由密度定義可得火星密度；由重力加速度可得出上升高度的關系，根據(jù)萬有引力提供向心力求出第一宇宙速度的關系

解答 解：AB、由$\frac{GMm}{{R}^{2}}=mg$，得到：$g=\frac{GM}{{R}^{2}}$，已知火星半徑是地球半徑的$\frac{1}{2}$，質量是地球質量的$\frac{1}{9}$，
則火星表面的重力加速度是地球表重力加速度的$\frac{4}{9}$，即為$\frac{4}{9}$g．選項B正確；
設火星質量為M′，由萬有引力等于重力可得：$G\frac{M′m}{R{′}^{2}}=mg′$，
解得：$M′=\frac{g′R{′}^{2}}{G}$，密度為：$ρ=\frac{M′}{V}$=$\frac{2g}{3πGR}$．故A正確；
 C、由G$\frac{Mm}{{R}^{2}}=m\frac{{v}^{2}}{R}$，得到$v=\sqrt{\frac{GM}{R}}$，火星的第一宇宙速度是地球第一宇宙速度的$\frac{\sqrt{2}}{3}$倍．故C錯誤；
 D、王躍以v₀在地球起跳時，根據(jù)豎直上拋的運動規(guī)律得出可跳的最大高度是：$h=\frac{{v}_{0}^{2}}{2g}$，則能達到的最大高度是$\frac{9h}{4}$，選項D錯誤；
故選：AB

點評 此題是對萬有引力定律的考查；關鍵是根據(jù)萬有引力等于重力以及萬有引力等于衛(wèi)星做圓周運動的向心力導出重力加速度及第一宇宙速度的關系式，然后根據(jù)火星和地球的半徑及質量關系求解討論；此題難度中等．