Question

9．如圖1所示，用一根不可伸長(zhǎng)的輕質(zhì)細(xì)線將小球懸掛在天花板上的O點(diǎn)，現(xiàn)將小球拉離平衡位置，使細(xì)線與豎直方向成一夾角（該夾角小于5°）后由靜止釋放．小球的大小和受到的空氣阻力忽略不計(jì)．
（1）證明小球的運(yùn)動(dòng)是簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)；
（2）由傳感器測(cè)得小球偏離平衡位置的位移隨時(shí)間變化的規(guī)律如圖2所示，求小球運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的最大速度值．

Answer 1

分析 （1）簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的特征是F=-kx．單擺的回復(fù)力是重力沿圓弧切線方向的分力，在擺角θ＜5°，sinθ≈$\frac{x}{L}$，得到單擺的回復(fù)力與位移的關(guān)系式，即可證明．
（2）由圖2可得到擺球的振幅A=0.08m，周期T=2s．根據(jù)單擺的周期公式救出擺長(zhǎng)，由機(jī)械能守恒得最大速度．

解答 解：（1）設(shè)小球偏角為θ時(shí)離開平衡位置的位移為x，擺長(zhǎng)為L(zhǎng)，θ＜5°，則：
  x=θL
  sinθ≈θ
小球受到的回復(fù)力大�。篎=mgsinθ
聯(lián)立解得：$F=\frac{mg}{L}x$
且因F與x方向相反，故有F=-$\frac{mg}{L}$x，則小球做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)．
ⅱ．由圖2可知擺球的振幅A=0.08m，周期T=2s   
以擺球?yàn)檠芯繉?duì)象：由周期公式：$T=2π\(zhòng)sqrt{\frac{L}{g}}$
由機(jī)械能守恒：$mgL（1-cosθ）=\frac{1}{2}mv_{max}^2$
由三角函數(shù)知識(shí)：$1-cosθ=2{sin^2}\frac{θ}{2}≈\frac{θ^2}{2}$
由圓的知識(shí)：$θ=\frac{A}{L}$
聯(lián)立解得：$v_{max}^{\;}=0.08πm/s$
答：
（1）證明見上．
（2）小球運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的最大速度值為0.08πm/s．

點(diǎn)評(píng) 解決本題的關(guān)鍵要關(guān)鍵掌握簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的特征，圍繞這個(gè)特征分析單擺的回復(fù)力與位移的關(guān)系，從而進(jìn)行證明．