Question

12．在直角坐標(biāo)系xOy中，第一象限內(nèi)存在沿y軸負(fù)方向的有界電場(chǎng)，其中的兩條邊界分別與Ox、Oy重合，電場(chǎng)強(qiáng)度大小為E．在第二象限內(nèi)有垂直紙面向里的有界磁場(chǎng)（圖中未畫(huà)出），磁場(chǎng)邊界為矩形，其中的一個(gè)邊界與y軸重合，磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小為B．一質(zhì)量為m，電量為q的正離子，從電場(chǎng)中P點(diǎn)以某初速度沿-x方向開(kāi)始運(yùn)動(dòng)，經(jīng)過(guò)坐標(biāo)（0，L）的Q點(diǎn)時(shí)，速度大小為v_Q=$\frac{BqL}{3m}$，方向與-y方向成30°，經(jīng)磁場(chǎng)偏轉(zhuǎn)后能夠返回電場(chǎng)，離子重力不計(jì)．求：
（1）正離子在P點(diǎn)的初速度；
（2）矩形磁場(chǎng)的最小面積；
（3）離子在第二象限中運(yùn)動(dòng)的最長(zhǎng)時(shí)間．

Answer 1

分析 （1）正離子在P點(diǎn)的初速度等于Q點(diǎn)水平方向的分速度；
（2）先根據(jù)牛頓第二定律求出離子在矩形磁場(chǎng)中圓周運(yùn)動(dòng)的半徑，根據(jù)離子在矩形磁場(chǎng)中的偏轉(zhuǎn)角確定矩形矩形區(qū)域的最小寬度，即可求得面積；
（3）磁場(chǎng)區(qū)域下移，離子在磁場(chǎng)偏轉(zhuǎn)的圓心角增大，運(yùn)動(dòng)時(shí)間變長(zhǎng)．

解答 解：（1）離子在從P到Q在電場(chǎng)力作用下做類(lèi)平拋運(yùn)動(dòng)：
由于：${v}_{Q}=\frac{BqL}{3m}$
所以：${v}_{0}={v}_{X}={v}_{Q}sin30°=\frac{BqL}{6m}$
（2）離子離開(kāi)磁場(chǎng)后，可能直接進(jìn)入磁場(chǎng)偏轉(zhuǎn)后返回電場(chǎng)，也可能先直線運(yùn)動(dòng)一段距離后再進(jìn)入磁場(chǎng)偏轉(zhuǎn)后返回電場(chǎng)．
由于：qBv_Q=m$\frac{{v}_{Q}^{2}}{R}$ 
所以：$R=\frac{L}{3}$
離子離開(kāi)電場(chǎng)后直接進(jìn)入磁場(chǎng)偏轉(zhuǎn)圓心角60°
最小寬度：△x=$\frac{L}{3}-\frac{L}{3}cos30°=\frac{L}{6}（2-\sqrt{3}）$
最小高度為$△y=2Rsin30°=\frac{L}{3}$
面積為$S=△x•△y=\frac{2-\sqrt{3}}{18}{L}^{2}$
（3）離子離開(kāi)電場(chǎng)后，先直線運(yùn)動(dòng)，再進(jìn)入磁場(chǎng)，最后通過(guò)O點(diǎn)返回電場(chǎng)在電場(chǎng)．
隨著磁場(chǎng)區(qū)域下移，離子在磁場(chǎng)偏轉(zhuǎn)的圓心角增大，運(yùn)動(dòng)時(shí)間變長(zhǎng)．
在磁場(chǎng)中偏轉(zhuǎn)最長(zhǎng)時(shí)間t：$t=\frac{1}{3}T=\frac{1}{3}•\frac{2πm}{qB}=\frac{2πm}{3Bq}$
在第二象限勻速運(yùn)動(dòng)的位移x=$\frac{2}{3}Lcos30°=\frac{\sqrt{3}}{3}L$，
所需時(shí)間為t$′=\frac{x}{{v}_{Q}}=\frac{\sqrt{3}m}{Bq}$
所需時(shí)間為${t}_{總}(cāng)=t+t′=\frac{\sqrt{3}m}{Bq}+\frac{2πm}{3qB}$
答：（1）正離子在P點(diǎn)的初速度為$\frac{BqL}{6m}$；
（2）矩形磁場(chǎng)的最面積為$\frac{2-\sqrt{3}}{18}{L}^{2}$；
（3）離子在返回電場(chǎng)前運(yùn)動(dòng)的最長(zhǎng)時(shí)間$\frac{\sqrt{3}m}{Bq}+\frac{2πm}{3qB}$

點(diǎn)評(píng) 本題帶電粒子在復(fù)合場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)，電場(chǎng)中做平拋運(yùn)動(dòng)，關(guān)鍵要正確畫(huà)出粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)的軌跡，由幾何知識(shí)求磁場(chǎng)寬是關(guān)鍵．