Question

15．據(jù)每日郵報(bào)2014年4月18日?qǐng)?bào)道，美國(guó)國(guó)家航空航天局目前宣布首次在太陽(yáng)系外發(fā)現(xiàn)“類(lèi)地”行星．假如宇航員乘坐宇宙飛船到達(dá)該行星，在該行星“北極”距地面h處由靜止釋放-個(gè)小球（引力視為恒力），經(jīng)時(shí)間t落到地面．已知該行星半徑為R，自轉(zhuǎn)周期為T(mén)，萬(wàn)有引力常量為G，求：
（1）該行星的平均密度ρ；
（2）該行星的第一宇宙速度v；
（3）如果該行星存在一顆同步衛(wèi)星，其距行星表面的高度h為多少．

Answer 1

分析 （1）先根據(jù)自由落體運(yùn)動(dòng)的公式h=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$求解重力加速度g；對(duì)衛(wèi)星，根據(jù)萬(wàn)有引力等于向心力列式求解星球質(zhì)量；最后根據(jù)密度的定義公式求解星球的密度；
（2）對(duì)近地衛(wèi)星，根據(jù)重力等于萬(wàn)有引力列式求解該行星的第一宇宙速度；
（3）對(duì)同步衛(wèi)星，根據(jù)萬(wàn)有引力等于向心力列式求解．

解答 解：（1）設(shè)行星表面的重力加速度為g，對(duì)小球，有：
$h=\frac{1}{2}g{t^2}$，
解得：
$g=\frac{2h}{t^2}$
對(duì)行星表面的物體m，有：
$G\frac{Mm}{R^2}=mg$，
故行星質(zhì)量：
$M=\frac{{2h{R^2}}}{{G{t^2}}}$
故行星的密度：
$ρ=\frac{M}{{\frac{4}{3}π{R^3}}}=\frac{3h}{{2πG{t^2}R}}$
（2）對(duì)處于行星表面附近做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的衛(wèi)星m，由牛頓第二定律，有：
$mg=m\frac{v^2}{R}$
故第一宇宙速度為：
$v=\sqrt{gR}=\sqrt{\frac{2h}{t^2}R}$
（3）同步衛(wèi)星的周期與星球自轉(zhuǎn)周期相同，為T(mén)，由牛頓第二定律，有：
$G\frac{Mm}{{{{（R+h）}^2}}}=m\frac{{4{π^2}}}{T^2}（R+h）$
得同步衛(wèi)星距行星表面高度：
$h=\root{3}{{\frac{{h{T^2}{R^2}}}{{2{π^2}{t^2}}}}}-R$
答：（1）該行星的平均密度ρ為$\frac{3h}{2πG{t}^{2}R}$；
（2）該行星的第一宇宙速度v為$\sqrt{\frac{2h}{{t}^{2}}R}$；
（3）如果該行星存在一顆同步衛(wèi)星，其距行星表面的高度h為$\root{3}{\frac{h{T}^{2}{R}^{2}}{2{π}^{2}{t}^{2}}}-R$．

點(diǎn)評(píng) 解答此題要清楚星球表面的物體受到的重力等于萬(wàn)有引力，星球的同步衛(wèi)星所受的萬(wàn)有引力提供向心力．