Question

11．如圖，光滑軌道ABCO固定在豎直平面內(nèi)，圓弧AB的圓心角為60°，O為圓心，半徑為R=7.5cm，OB為半圓BCO的直徑，光滑平臺(tái)與軌道相切于A點(diǎn)．質(zhì)量為M=2kg，長(zhǎng)度為L(zhǎng)=1.82m的木板靜止在水平地面上，木板與水平地面的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ₂=0.1，木板上表面與平臺(tái)上表面處于同一水平面上．物體P靜止在木板上的某處，物體q在水平向左的恒力F=4N作用下，以V₀=4m/s的初速度從木板右端向左運(yùn)動(dòng)，經(jīng)過(guò)0.2s與p相碰并結(jié)合成一整體Q，P、q、Q與木板上表面的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ₁=0.3．當(dāng)木板與平臺(tái)相碰時(shí)被牢固粘連，Q滑離木板時(shí)立刻撤去恒力F，Q恰好能通過(guò)圓軌道BCO的最高點(diǎn)．P、q質(zhì)量均為m=1kg，P、q、Q可看作質(zhì)點(diǎn)，所有接觸面的最大靜摩擦力與滑動(dòng)摩擦力大小相等，取g=10m/s²，求：
（1）結(jié)合體Q剛過(guò)A點(diǎn)時(shí)軌道對(duì)它支持力；
（2）物體q開(kāi)始運(yùn)動(dòng)時(shí)P、q的距離；
（3）木板與平臺(tái)相碰時(shí)，結(jié)合體Q的速度大�。�

Answer 1

分析 （1）Q恰好能通過(guò)圓軌道BCO的最高點(diǎn)，由重力提供向心力，由此列式，求出Q到達(dá)最高點(diǎn)的速度．結(jié)合體由A到最高點(diǎn)的過(guò)程機(jī)械能守恒，由此列式求出結(jié)合體Q剛過(guò)A點(diǎn)時(shí)的速度，再由牛頓第二定律求軌道對(duì)Q的支持力．
（2）根據(jù)木板與地面間的最大靜摩擦力分析木板的運(yùn)動(dòng)情況，再由牛頓第二定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)位移公式求物體q開(kāi)始運(yùn)動(dòng)時(shí)P、q的距離；
（3）物體q與p相碰過(guò)程，由動(dòng)量守恒定律求碰后Q的速度．再由動(dòng)能定理求木板與平臺(tái)相碰時(shí)，結(jié)合體Q的速度大�。�

解答 解：（1）恰好通過(guò)圓軌道BCO的最高點(diǎn)且速度為V₄．則 2mg=2m$\frac{{V}_{4}^{2}}{r}$    ①
其中 r=$\frac{R}{2}$，h=R+$\frac{R}{2}$（1-cos60°）=$\frac{5}{4}$R    ②
結(jié)合體由A到最高點(diǎn)機(jī)械能守恒，則有
  $\frac{1}{2}•2m{V}_{4}^{2}$+2mgh=$\frac{1}{2}•2m{V}_{A}^{2}$  ③
在A點(diǎn)，由牛頓第二定律得 N-2mg=2m$\frac{{V}_{4}^{2}}{R}$   ④
聯(lián)立①～④得結(jié)合體剛過(guò)A點(diǎn)時(shí)軌道對(duì)它支持力為  N=8mg=80N   ⑤
（2）q開(kāi)始滑動(dòng)時(shí) f₁=μ₁mg=0.1×10×1=3N    ⑥
木板與地面的最大靜摩擦力 f₂=μ₂（m+m+2m）g=4N    ⑦
因?yàn)?f₁＜f₂，所以木板和p靜止不動(dòng) 
根據(jù)牛頓第二定律得 F-f₁=ma     ⑧
物體q開(kāi)始運(yùn)動(dòng)時(shí)p、q的距離 s=V₀t+$\frac{1}{2}a{t}^{2}$ ⑨
由⑥～⑨解得  s=0.82m ⑩
（3）q、P相碰前q的速度  V₁=V₀+at⑪
物體q與p相碰，取向左為正方向，由動(dòng)量守恒定律有
mV₁=2mV₂⑫
又因?yàn)?2f₁=6N＞f₂，木板開(kāi)始滑動(dòng)   
設(shè)結(jié)合體Q與木板未共速，木板與平臺(tái)相碰
對(duì)木板，木板與平臺(tái)碰撞前木板速度為V₃，由動(dòng)能定理得
   （2f₁-f₂）x=$\frac{1}{2}M{V}_{3}^{2}$⑬
對(duì)結(jié)合體Q，從碰后到圓軌道BCO的最高點(diǎn)，由動(dòng)能定理得
  （F-2f₁）（x+L-s）-2mgh=$\frac{1}{2}•2m{V}_{4}^{2}$-$\frac{1}{2}•2m{V}_{2}^{2}$⑭
由于F=f₂，木板開(kāi)始滑動(dòng)到與平臺(tái)碰撞前，結(jié)合體Q和木板動(dòng)量守恒，設(shè)此時(shí)結(jié)合體速度為V₅，則
  2mV₂=MV₃+2mV₅⑮
聯(lián)立⑪～⑮解得：
V₃=0.4m/s    V₅=1.7m/s     V₅=1.7m/s＞V₃=0.4m/s
所以設(shè)結(jié)合體Q與木板未共速，木板就與平臺(tái)相碰，相碰時(shí)的速度為1.7m/s．
答：
（1）結(jié)合體Q剛過(guò)A點(diǎn)時(shí)軌道對(duì)它支持力是80N；
（2）物體q開(kāi)始運(yùn)動(dòng)時(shí)P、q的距離是0.82m；
（3）木板與平臺(tái)相碰時(shí)，結(jié)合體Q的速度大小為1.7m/s．

點(diǎn)評(píng) 本題是復(fù)雜的力學(xué)綜合題，關(guān)鍵是要正確分析物體的運(yùn)動(dòng)過(guò)程和狀態(tài)，將整個(gè)過(guò)程分成若干個(gè)子過(guò)程研究，把握每個(gè)過(guò)程和狀態(tài)的物理規(guī)律，并找出各個(gè)過(guò)程之間的聯(lián)系．