Question

（2006?廣州模擬）如圖所示，在空間存在這樣一個磁場區(qū)域：以MN為界，上部分的勻強(qiáng)磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度為B₁，下部分的勻強(qiáng)磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度為B₂，B₁=2B₂=2B₀，方向均垂直紙面向里，且磁場區(qū)域足夠大．在距離界線為h的P點(diǎn)有一帶負(fù)電荷的離子處于靜止?fàn)顟B(tài)，某時刻離子分解成為帶電粒子A和不帶電粒子B，粒子A質(zhì)量為m、帶電荷q，以平行于界線MN的初速度向右運(yùn)動，經(jīng)過界線MN時速度方向與界線成60°角，進(jìn)入下部分磁場．當(dāng)粒子B沿與界線平行的直線到達(dá)位置Q點(diǎn)時，恰好又與粒子A相遇．不計(jì)粒子的重力．求：
（1）P、Q兩點(diǎn)間距離．
（2）粒子B的質(zhì)量．

Answer 1

分析：（1）粒子在勻強(qiáng)磁場中做勻速圓周運(yùn)動，由牛頓第二定律及向心力公式可求得半徑及周期，再由幾何關(guān)系即可解得P、Q間的距離；
（2）由A的運(yùn)動過程可求得A從P到Q所經(jīng)歷的時間，再由運(yùn)動學(xué)公式可求得B的運(yùn)動速度；由半徑公式可求得A的速度；由動量守恒即可求得粒子B的質(zhì)量．

解答：解：
（1）粒子A在勻強(qiáng)磁場中做勻速圓周運(yùn)動，洛侖茲力提供向心力，設(shè)粒子A的速度為v₀，在MN上方運(yùn)動半徑為R₁，運(yùn)動周期為T₁，
根據(jù)牛頓第二定律和圓周運(yùn)動公式，qv0B1=m

v 2 0

R1

 ①
解得  R1=

mv0

qB1

=

mv0

2qB0

 ②
T1=

2πR1

v0

=

πm

qB0

 ③
同理，粒子A在MN下方運(yùn)動半徑R₂和周期T₂分別為
R₂=

mv0

qB2

=

mv0

qB0

=2R1 ④
T₂=

2πm

qB0

 ⑤
粒子A由P點(diǎn)運(yùn)動到MN邊界時速度與MN的夾角為60°，如圖所示，則有

R₁-h=R₁cos60°，得到：R₁=2h  
R₂=4h  
間的距離為   PQ=2R₂sin60°-2R₁sin60°=2

3

h ⑥
（2）粒子A從P點(diǎn)到Q點(diǎn)所用時間為t=

2

6

T1+

2

3

T2=

1

3

πm

qB0

+

2

3

?

2πm

qB0

=

5πm

3qB0

 ⑦
設(shè)粒子B的質(zhì)量為M，從P點(diǎn)到Q點(diǎn)速度為v=

PQ

t

=

6 3 hqB0

5πm

 ⑧
由 R1=2h=

mv0

2qB0

  ⑨
得到   mv₀=4qB₀h     ⑩
根據(jù)動量守恒定律 mv₀-Mv=0 
解得：M=

10 3 π

9

m
答：（1）PQ兩點(diǎn)間的距離為2

3

h；（2）粒子B的質(zhì)量為

10 3 π

9

m．

點(diǎn)評：解決帶電粒子在磁場中的運(yùn)動時，關(guān)鍵在于能夠找出圓心和半徑，同時能正確利用幾何關(guān)系進(jìn)行分析求解．