Question

20．在水下氣泡內(nèi)空氣的壓強大于氣泡表面外側(cè)水的壓強，兩壓強差△p與氣泡半徑r之間的關(guān)系為△p=$\frac{2σ}{r}$，其中σ=0.070N/m．現(xiàn)讓水下10m處一半徑為0.50cm的氣泡緩慢上升，已知大氣壓強p₀=1.0×10⁵Pa，水的密度ρ=1.0×10³kg/m³，重力加速度大小g=10m/s²．
（i）求在水下10m處氣泡內(nèi)外的壓強差；
（ii）忽略水溫隨水深的變化，在氣泡上升到十分接近水面時，求氣泡的半徑與其原來半徑之比的近似值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題給公式△p=$\frac{2σ}{r}$算在水下10m處氣泡內(nèi)外的壓強差；
（2）先確定初末狀態(tài)的p、V，根據(jù)玻意耳定律列方程，忽略很小量，求出氣泡的半徑與其原來半徑之比的近似值

解答 解：（i）當氣泡在水下h=10m處時，設(shè)其半徑為${r}_{1}^{\;}$，氣泡內(nèi)外壓強差為$△{p}_{1}^{\;}$，則
$△{p}_{1}^{\;}=\frac{2σ}{{r}_{1}^{\;}}$①
代入題給數(shù)據(jù)得$△{p}_{1}^{\;}=28{p}_{a}^{\;}$②
（ii）設(shè)氣泡在水下10m處時，氣泡內(nèi)空氣的壓強為${p}_{1}^{\;}$，氣泡體積為${V}_{1}^{\;}$；氣泡到達水面附近時，氣泡內(nèi)空氣的壓強為${p}_{2}^{\;}$，內(nèi)外壓強差為$△{p}_{2}^{\;}$，其體積為${V}_{2}^{\;}$，半徑為${r}_{2}^{\;}$．
氣泡上升過程中溫度不變，根據(jù)玻意耳定律有
${p}_{1}^{\;}{V}_{1}^{\;}={p}_{2}^{\;}{V}_{2}^{\;}$③
由力學平衡條件有
${p}_{1}^{\;}={p}_{0}^{\;}+ρgh+△{p}_{1}^{\;}$④
${p}_{2}^{\;}={p}_{0}^{\;}+△{p}_{2}^{\;}$⑤
氣泡體積${V}_{1}^{\;}$和${V}_{2}^{\;}$分別為
${V}_{1}^{\;}=\frac{4}{3}π{r}_{1}^{3}$⑥
${V}_{2}^{\;}=\frac{4}{3}π{r}_{2}^{3}$⑦
聯(lián)立③④⑤⑥⑦式得
$（\frac{{r}_{1}^{\;}}{{r}_{2}^{\;}}）_{\;}^{3}=\frac{{p}_{0}^{\;}+△{p}_{2}^{\;}}{ρgh+{p}_{0}^{\;}+△{p}_{1}^{\;}}$⑧
由$△{p}_{i}^{\;}＜＜{p}_{0}^{\;}，i=1，2$，故可略去⑧式中的$△{p}_{i}^{\;}$項，代入題給數(shù)據(jù)得
$\frac{{r}_{2}^{\;}}{{r}_{1}^{\;}}=\root{3}{2}≈1.3$
答：（i）在水下10m處氣泡內(nèi)外的壓強差28Pa；
（ii）忽略水溫隨水深的變化，在氣泡上升到十分接近水面時，氣泡的半徑與其原來半徑之比的近似值1.3

點評 本題題型新穎，有創(chuàng)意，考查了考生獲取新知的能力，對玻意耳定律考查有了創(chuàng)新，平時復習要注重多訓練，在高考中才能靈活應用．