Question

如圖所示，質(zhì)量不計(jì)且足夠長(zhǎng)的倒L型支架下端固定在質(zhì)量為2m的木板上，在其上端O處系一長(zhǎng)為L(zhǎng)的輕繩，繩的下端系一質(zhì)量為m的小球，小球可視為質(zhì)點(diǎn)．整個(gè)裝置在光滑的水平面上以速度v₀向右做勻速直線運(yùn)動(dòng)，水平面的右端為一矮墻．（重力加速度為g）
（1）若木板與墻壁相碰立即與墻壁粘合在一起，試求碰后小球上升至最高點(diǎn)時(shí)繩中的張力大�。�（小球在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中不與支架相碰）；
（2）若木板與墻壁相碰后以原速率反彈，要使繩的最大偏角不超過(guò)90°，則生產(chǎn)L應(yīng)滿(mǎn)足什么條件？

Answer 1

分析：（1）木板與墻壁相碰立即與墻壁粘合在一起，小球以速度v₀向右做圓周運(yùn)動(dòng)，速度v₀在不同的范圍內(nèi)小球的運(yùn)動(dòng)情況不同，分情況討論．
（2）繩的偏角最大時(shí)，球與木板的共同速度為υ，根據(jù)動(dòng)量守恒求得共同速度，再根據(jù)機(jī)械能守恒求得繩長(zhǎng)．

解答：解：（1）當(dāng)υ0≤

2gL

時(shí)，小球右擺，且設(shè)球上升到最高點(diǎn)時(shí)繩與豎直方向的夾角為θ≤90⁰
對(duì)小球向上擺動(dòng)的過(guò)程有：mgL(1-cosθ)=

1

2

m

υ

2 0

小球在最高點(diǎn)時(shí)有：T=mgcosθ
解得張力：T=mg-

m υ 2 0

2L

當(dāng)

2gL

＜υ0＜

5gL

時(shí)，繩松弛后小球做斜上拋運(yùn)動(dòng)，當(dāng)小球上拋至最高點(diǎn)時(shí)繩仍松弛，
故張力T=0．
當(dāng)υ0≥

5gL

時(shí)，小球能做完整的圓周運(yùn)動(dòng)，設(shè)球運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)時(shí)速度為υ，對(duì)小球從最低點(diǎn)到最高點(diǎn)的過(guò)程有：

1

2

m

υ

2 0

-

1

2

mυ2=mg?2L
小球在最高點(diǎn)時(shí)有：T+mg=

mυ2

L

解得張力為：T=

m υ 2 0

L

-5mg
（2）若繩長(zhǎng)為L(zhǎng)₀時(shí)，碰后繩的最大偏角為90⁰，
繩的偏角最大時(shí)，球與木板的共同速度為υ
據(jù)動(dòng)量守恒得：
2mυ₀-mυ₀=3mυ
據(jù)機(jī)械能守恒得：
mgL0=

1

2

?3m

υ

2 0

-

1

2

?3mυ2
解得：L₀=

4 υ 2 0

3g

所以當(dāng)L滿(mǎn)足 L≥

4 υ 2 0

3g

時(shí)，繩的偏角不超過(guò)90°
答：（1）若木板與墻壁相碰立即與墻壁粘合在一起，碰后小球上升至最高點(diǎn)時(shí)繩中的張力大小是

m υ 2 0

L

-5mg
（2）若木板與墻壁相碰后以原速率反彈，要使繩的最大偏角不超過(guò)90°，則繩長(zhǎng)L應(yīng)滿(mǎn)足條件是L≥

4 υ 2 0

3g

^．

點(diǎn)評(píng)：（1）細(xì)繩帶小球在豎直面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)，小球需要向心力，根據(jù)小球獲得速度的大小判斷小球的運(yùn)動(dòng)情況．
（2）該題是把動(dòng)量守恒和機(jī)械能守恒結(jié)合得綜合應(yīng)用．