Question

14．如圖所示，在豎直固定的光滑絕緣管內(nèi)，有一勁度系數(shù)為k的絕緣輕彈簧下端固定在地面上，上端帶正電的小球A相連，整個(gè)空間存在一豎直向上的勻強(qiáng)電場，小球A靜止時(shí)彈簧恰好處于自由伸長狀態(tài)．另一不帶電的絕緣小球B從P點(diǎn)由靜止開始下落，與A球發(fā)生碰撞后兩者立即一起以相同速度向下運(yùn)動(dòng)．小球A、B的質(zhì)量均為m，小球A的電荷量始終不變，重力加速度為g，不計(jì)空氣阻力．
（1）若P、O的高度差為h，求B剛要與A碰撞時(shí)的速度大小v₀；
（2）若P、O的高度差未知，A、B在兩者碰撞后一起運(yùn)動(dòng)的整個(gè)過程中恰好始終不分離，求A、B一起運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)時(shí)彈簧的形變量x₀；
（3）在滿足第（2）問的情況下，求A、B一起運(yùn)動(dòng)過程中的最大速度v_m．

Answer 1

分析 （1）B球自由下落的過程，由機(jī)械能守恒定律求得B剛要與A碰撞時(shí)的速度大小v₀；
（2）A、B一起運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)時(shí)恰不分離，加速度相等，它們之間的彈力為零，分別對A、B，運(yùn)用牛頓第二定律列式，結(jié)合胡克定律求彈簧的形變量x₀；
（3）最大速度時(shí)A、B的合力為零，根據(jù)平衡條件和能量守恒定律求解．

解答 解：（1）B球自由下落的過程，由機(jī)械能守恒定律得：
mgh=$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$
得：v₀=$\sqrt{2gh}$
（2）A、B在最高點(diǎn)時(shí)恰不分離，此時(shí)A、B加速度相等，且它們間的彈力為零，設(shè)小球的帶電量為q，電場強(qiáng)度為E．根據(jù)牛頓第二定律，
對B：mg=ma             
對A：mg+kx₀-qE=ma         
在碰撞前A靜止有：qE=mg
解得：x₀=$\frac{mg}{k}$
（3）A、B一起運(yùn)動(dòng)過程中合外力為零時(shí)，具有最大速度v_m，設(shè)此時(shí)彈簧的壓縮量為x．則有：
2mg=qE+kx
得：x=$\frac{mg}{k}$
由于 x=x₀，說明A、B在最高點(diǎn)處與合外力為零處彈簧的彈性的勢能相等
對此過程，由能量守恒定律得：（2mg-qE）（x+x₀）=$\frac{1}{2}×2m{v}_{m}^{2}$
解得：v_m=g$\sqrt{\frac{2m}{k}}$
答：（1）若P、O的高度差為h，B剛要與A碰撞時(shí)的速度大小v₀是$\sqrt{2gh}$．
（2）A、B一起運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)時(shí)彈簧的形變量x₀是$\frac{mg}{k}$．
（3）A、B一起運(yùn)動(dòng)過程中的最大速度v_m是g$\sqrt{\frac{2m}{k}}$．

點(diǎn)評 解決本題時(shí)，首先要清楚研究對象的運(yùn)動(dòng)過程．分析清楚運(yùn)動(dòng)過程中能量的轉(zhuǎn)化情況，以便從能量守恒角度解決問題．