Question

【題目】如圖所示，一質(zhì)量Ｍ＝2ｋｇ的長(zhǎng)木板Ｂ靜止于光滑水平面上，Ｂ的右邊放有豎直擋板．現(xiàn)有一小物體Ａ（可視為質(zhì)點(diǎn)）質(zhì)量ｍ＝1ｋｇ，以速度ｖ０＝6ｍ／ｓ從Ｂ的左端水平滑上Ｂ，已知Ａ和Ｂ間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ＝0．2，Ｂ與豎直擋板的碰撞時(shí)間極短，且碰撞時(shí)無(wú)機(jī)械能損失．

（1）若Ｂ的右端距擋板ｓ＝4ｍ，要使Ａ最終不脫離Ｂ，則木板Ｂ的長(zhǎng)度至少多長(zhǎng)?
（2）若Ｂ的右端距擋板ｓ＝0．5ｍ，要使Ａ最終不脫離Ｂ，則木板Ｂ的長(zhǎng)度至少多長(zhǎng)?

Answer 1

【答案】（1）8．67ｍ（2）8．96ｍ．

【解析】（1）設(shè)Ａ滑上Ｂ后達(dá)到共同速度前并未碰到檔板，則根據(jù)動(dòng)量守恒定律得它們的共同速度為ｖ，有ｍｖ０＝（Ｍ＋ｍ）ｖ，

解得ｖ＝2ｍ／ｓ，

在這一過(guò)程中，Ｂ的位移為ｓＢ＝ｖＢ2／2ａＢ且ａＢ＝μｍｇ／Ｍ，

解得ｓＢ＝Ｍｖ2／2μｍｇ＝2×22／2×0．2×1×10＝2ｍ．

設(shè)這一過(guò)程中，Ａ、Ｂ的相對(duì)位移為ｓ１，根據(jù)系統(tǒng)的動(dòng)能定理，得

μｍｇｓ１＝ｍｖ０2－（Ｍ＋ｍ）ｖ2，

解得ｓ１＝6ｍ．

當(dāng)ｓ＝4ｍ時(shí)，Ａ、Ｂ達(dá)到共同速度ｖ＝2ｍ／ｓ

后再勻速向前運(yùn)動(dòng)2ｍ碰到擋板，Ｂ碰到豎直擋板后，根據(jù)動(dòng)量守恒定律得Ａ、Ｂ最后相對(duì)靜止時(shí)的速度為ｖ′，則Ｍｖ－ｍｖ＝（Ｍ＋ｍ）ｖ′，

解得ｖ′＝ｍ／ｓ．

在這一過(guò)程中，Ａ、Ｂ的相對(duì)位移為ｓ２，根據(jù)系統(tǒng)的動(dòng)能定理，得

μｍｇｓ２＝（Ｍ＋ｍ）ｖ2－（Ｍ＋ｍ）ｖ′2，

解得ｓ２＝2．67ｍ．

因此，Ａ、Ｂ最終不脫離的木板最小長(zhǎng)度為ｓ１＋ｓ２＝8．67ｍ

（2）因Ｂ離豎直檔板的距離ｓ＝0．5ｍ＜2ｍ，所以碰到檔板時(shí)，Ａ、Ｂ未達(dá)到相對(duì)靜止，此時(shí)Ｂ的速度ｖＢ為

ｖＢ2＝2ａＢｓ＝2ｓ，

解得ｖＢ＝1ｍ／ｓ，

設(shè)此時(shí)Ａ的速度為ｖＡ，根據(jù)動(dòng)量守恒定律，得ｍｖ０＝ＭｖＢ＋ｍｖＡ，

解得ｖＡ＝4ｍ／ｓ，

設(shè)在這一過(guò)程中，Ａ、Ｂ發(fā)生的相對(duì)位移為ｓ１′，根據(jù)動(dòng)能定理得：

μｍｇｓ１′＝ｍｖ０2－（ｍｖＡ2＋ＭｖＢ2），

解得ｓ１′＝4.5ｍ．

Ｂ碰撞擋板后，Ａ、Ｂ最終達(dá)到向右的相同速度ｖ，根據(jù)動(dòng)量守恒得ｍｖＡ－ＭｖＢ＝（Ｍ＋ｍ）ｖ，

解得ｖ＝ｍ／ｓ．

在這一過(guò)程中，Ａ、Ｂ發(fā)生的相對(duì)位移ｓ２′為

μｍｇｓ２′＝ｍｖＡ2＋（Ｍ＋ｍ）ｖ2，

解得ｓ２′＝ｍ．

Ｂ再次碰到擋板后，Ａ、Ｂ最終以相同的速度ｖ′向左共同運(yùn)動(dòng)，根據(jù)動(dòng)量守恒定律，得

Ｍｖ－ｍｖ＝（Ｍ＋ｍ）ｖ′，

解得ｖ′＝ｍ／ｓ．

在這一過(guò)程中，Ａ、Ｂ發(fā)生的相對(duì)位移ｓ３′為：

μｍｇｓ３′＝（Ｍ＋ｍ）ｖ2－（Ｍ＋ｍ）ｖ′2，

解得ｓ３′＝ｍ．

因此，為使Ａ不從Ｂ上脫落，Ｂ的最小長(zhǎng)度為ｓ１′＋ｓ２′＋ｓ３′＝8.96ｍ．