Question

飛天同學(xué)是一位航天科技愛(ài)好者，當(dāng)他從新聞中得知，中國(guó)航天科技集團(tuán)公司將在2010年底為青少年發(fā)射第一顆科學(xué)實(shí)驗(yàn)衛(wèi)星--“希望一號(hào)”衛(wèi)星（代號(hào)XW-1）時(shí)，他立刻從網(wǎng)上搜索有關(guān)“希望一號(hào)”衛(wèi)星的信息，其中一份資料中給出該衛(wèi)星運(yùn)行周期10.9min．他根據(jù)所學(xué)知識(shí)計(jì)算出繞地衛(wèi)星的周期不可能小于83min，從而斷定此數(shù)據(jù)有誤．
已知地球的半徑R=6.4×10⁶m，地球表面的重力加速度g=10m/s²．請(qǐng)你通過(guò)計(jì)算說(shuō)明為什么發(fā)射一顆周期小于83min的繞地球運(yùn)行的人造地球衛(wèi)星是不可能的．

Answer 1

分析：航天器繞地球運(yùn)行，根據(jù)萬(wàn)有引力提供向心力列出等式表示出運(yùn)行周期．
衛(wèi)星貼地飛行的周期最小，根據(jù)地球表面上所受重力近似等于萬(wàn)有引力表示出GM進(jìn)行代換求解．

解答：解：設(shè)地球質(zhì)量為M，航天器質(zhì)量為m，航天器繞地球運(yùn)行的軌道半徑為r、周期為T(mén)，
根據(jù)萬(wàn)有引力定律和牛頓運(yùn)動(dòng)定律有

GMm

r2

=

m?4π2r

T2

解得T=2π

r3 GM

 
由上式可知，軌道半徑越小，周期越小．因此，衛(wèi)星貼地飛行（r=R）的周期最小，設(shè)為T(mén)_min，
則T_min=2π

R3 GM

質(zhì)量為m的物體在地球表面上所受重力近似等于萬(wàn)有引力，即

GMm

R2

=mg
因此有 GM=gR² 
聯(lián)立解得：T_min=2π

R g

=5024a=83.7min 
因繞地球運(yùn)行的人造地球衛(wèi)星最小周期為83.7min，所以發(fā)射一顆周期為83min的繞地球運(yùn)行的人造地球衛(wèi)星是不可能的．

點(diǎn)評(píng)：運(yùn)用黃金代換式GM=gR²求出問(wèn)題是考試中常見(jiàn)的方法．
向心力的公式選取要根據(jù)題目提供的已知物理量或所求解的物理量選取應(yīng)用．