Question

2．如圖所示，長木板B的質(zhì)量M=2千克，小木塊A質(zhì)量m=1千克，A、B間的滑動摩擦系數(shù)u=0.2，B的長度L=1.5米，A的長度忽略不計．開始時A、B都靜止，A在B的左端．今用水平恒力F=6牛拉A，求：
（1）當(dāng)B固定時，水平恒力F至少作用多長時間，才能使A從B的右端滑下；
（2）當(dāng)B放在光滑水平面上時，水平恒力F至少作用多長時間，才能從B的右端滑下．

Answer 1

分析 （1）在F的作用下，物體做勻加速直線運動，撤去F做勻減速直線運動，結(jié)合物體的位移之和等于L，求出勻加速直線運動的末速度，根據(jù)速度時間公式求出F作用的最短時間．
（2）當(dāng)B放在光滑水平面上時，在F作用下，A做勻加速直線運動，B也做勻加速直線運動，撤去F后，A做勻減速直線運動，B繼續(xù)做勻加速直線運動，結(jié)合相對位移等于L，結(jié)合牛頓第二定律和運動學(xué)公式綜合求解．

解答 解：（1）設(shè)F作用的最短時間為t，
在恒力F作用下，A的加速度大小${a}_{1}=\frac{F-μmg}{m}=\frac{6-0.2×10}{1}=4m/{s}^{2}$，撤去F后，A的加速度大小${a}_{2}=μg=0.2×10m/{s}^{2}=2m/{s}^{2}$．
根據(jù)速度位移公式得，$\frac{{v}^{2}}{2{a}_{1}}+\frac{{v}^{2}}{2{a}_{2}}=L$，代入數(shù)解得v=2m/s，
則F作用的最短時間$t=\frac{v}{{a}_{1}}=\frac{2}{4}s=0.5s$．
（2）撤去F前，A的加速度大小${a}_{1}=\frac{F-μmg}{m}=\frac{6-0.2×10}{1}=4m/{s}^{2}$，B的加速度大小${a}_{3}=\frac{μmg}{M}=\frac{0.2×10}{2}m/{s}^{2}=1m/{s}^{2}$，
設(shè)撤去F時A的速度為v_A，根據(jù)v=at知，此時${v}_{B}=\frac{1}{4}{v}_{A}$，此時相對位移的大小$△{x}_{1}=\frac{{{v}_{A}}^{2}}{2{a}_{1}}-\frac{{{v}_{B}}^{2}}{2{a}_{3}}=\frac{3}{32}{{v}_{A}}^{2}$，
撤去F后，對A、B組成的系統(tǒng)運用動量守恒得，mv_A+Mv_B=（m+M）v，
解得v=$\frac{1}{2}{v}_{A}$，
撤去F后，A的加速度大小${a}_{2}=μg=0.2×10m/{s}^{2}=2m/{s}^{2}$，做勻減速直線運動，
B的加速度大小${a}_{3}=\frac{μmg}{M}=\frac{0.2×10}{2}m/{s}^{2}=1m/{s}^{2}$，繼續(xù)做勻加速直線運動，
則相對位移的大小$△{x}_{2}=\frac{{{v}_{A}}^{2}-{v}^{2}}{2{a}_{2}}-\frac{{v}^{2}-{{v}_{B}}^{2}}{2{a}_{3}}=\frac{3}{16}{{v}_{A}}^{2}-\frac{3}{32}{v}_{A}$²=$\frac{3}{32}{{v}_{A}}^{2}$，
根據(jù)△x₁+△x₂=L，代入數(shù)據(jù)解得v_A=$2\sqrt{2}$m/s，
則作用的最短時間$t′=\frac{{v}_{A}}{{a}_{1}}=\frac{2\sqrt{2}}{4}s=\frac{\sqrt{2}}{2}s$．
答：（1）水平恒力F至少作用0.5s時間，才能使A從B的右端滑下；
（2）水平恒力F至少作用$\frac{\sqrt{2}}{2}s$時間，才能從B的右端滑下．

點評 解決本題的關(guān)鍵理清A、B在整個過程中的運動規(guī)律，結(jié)合牛頓第二定律和運動學(xué)公式綜合求解，知道在什么臨界情況下，F(xiàn)的作用時間最短是解決本題的突破口．