Question

11．甲、乙兩質(zhì)點(diǎn)從零時(shí)刻同時(shí)開(kāi)始在彼此平行且靠近的兩水平軌道上同向運(yùn)動(dòng)，甲在前，乙在后，相距s，甲初速度為零，加速度為a，做勻加速直線運(yùn)動(dòng)；乙以速度v₀做勻速直線運(yùn)動(dòng)，請(qǐng)對(duì)兩質(zhì)點(diǎn)的相遇情況進(jìn)行分析．若有相遇，求出相遇時(shí)刻；若無(wú)相遇，求出運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的最小距離△s_min．

Answer 1

分析 甲做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，乙做勻速直線運(yùn)動(dòng)，可能速度相等時(shí)，甲乙兩物體相遇，最小距離為0；可能速度相等時(shí)，乙未追上甲，則速度相等時(shí)，有最小距離，因?yàn)橐院笠业乃俣刃∮诩椎乃俣�，兩者距離逐漸增大；有可能速度相等前，兩物體已相遇，速度相等后，甲的速度大于乙的速度，然后甲又追上乙并超越

解答 解：分析追及問(wèn)題時(shí)，速度恰好相等時(shí)的情況往往是解題的關(guān)鍵．異地出發(fā)，勻速運(yùn)動(dòng)的物體追趕前方同向運(yùn)動(dòng)的初速度為零的勻加速運(yùn)動(dòng)的物體時(shí)情況較為復(fù)雜，在相遇之前，它們之間的距離△s可能先減小后增大，也可能不斷減小，直至△s=0（相遇），而存不存在先變小后變大的情況，這完全取決于兩質(zhì)點(diǎn)之間的初始距離s與v₀、a之間的大小關(guān)系．
  由s=v₀t-$\frac{1}{2}$at²可解得，$t=\frac{{v}_{0}±\sqrt{{v}_{0}^{2}-2as}}{a}$，可見(jiàn)：
（1）若v₀²=2as，即s=$\frac{{v}_{0}^{2}}{2a}$，則t=$\frac{{v}_{0}}{a}$時(shí)，甲、乙恰好相遇，△s為零．
（2）當(dāng)v₀²＞2as，即$s＜\frac{{v}_{0}^{2}}{2a}$時(shí)，在甲、乙相遇前，甲、乙之間的距離始終在減小，直至相遇（最小距離△s=0），在t=$\frac{{v}_{0}}{a}$時(shí)，甲被乙超過(guò)，不會(huì)出現(xiàn)△s最小的情況．
（3）當(dāng)v₀²＜2as，即$s＞\frac{{v}_{0}^{2}}{2a}$時(shí)，甲與乙不可能相遇，兩質(zhì)點(diǎn)間距離會(huì)出現(xiàn)先變小后變大的情況，在t=$\frac{{v}_{0}}{a}$時(shí)，兩質(zhì)點(diǎn)之間的距離最近，△s_min=s-$\frac{{v}_{0}^{2}}{2a}$
答：（1）若v₀²=2as，即s=$\frac{{v}_{0}^{2}}{2a}$，則t=$\frac{{v}_{0}}{a}$時(shí)，甲、乙恰好相遇，△s為零．
（2）當(dāng)v₀²＞2as，即$s＜\frac{{v}_{0}^{2}}{2a}$時(shí)，在甲、乙相遇前，甲、乙之間的距離始終在減小，直至相遇（最小距離△s=0），在t=$\frac{{v}_{0}}{a}$時(shí)，甲被乙超過(guò)，不會(huì)出現(xiàn)△s最小的情況．
（3）當(dāng)v₀²＜2as，即$s＞\frac{{v}_{0}^{2}}{2a}$時(shí)，甲與乙不可能相遇，兩質(zhì)點(diǎn)間距離會(huì)出現(xiàn)先變小后變大的情況，在t=$\frac{{v}_{0}}{a}$時(shí)，兩質(zhì)點(diǎn)之間的距離最近，△s_min=s-$\frac{{v}_{0}^{2}}{2a}$

點(diǎn)評(píng) 解決本題的關(guān)鍵理清兩物體的運(yùn)動(dòng)情況，結(jié)合運(yùn)動(dòng)學(xué)公式靈活求解．由s=v₀t-$\frac{1}{2}$at²可解得，$t=\frac{{v}_{0}±\sqrt{{v}_{0}^{2}-2as}}{a}$，據(jù)此式進(jìn)行討論．