Question

11．甲、乙兩質點從零時刻同時開始在彼此平行且靠近的兩水平軌道上同向運動，甲在前，乙在后，相距s，甲初速度為零，加速度為a，做勻加速直線運動；乙以速度v₀做勻速直線運動，請對兩質點的相遇情況進行分析．若有相遇，求出相遇時刻；若無相遇，求出運動過程中的最小距離△s_min．

Answer 1

分析 甲做勻加速直線運動，乙做勻速直線運動，可能速度相等時，甲乙兩物體相遇，最小距離為0；可能速度相等時，乙未追上甲，則速度相等時，有最小距離，因為以后乙的速度小于甲的速度，兩者距離逐漸增大；有可能速度相等前，兩物體已相遇，速度相等后，甲的速度大于乙的速度，然后甲又追上乙并超越

解答 解：分析追及問題時，速度恰好相等時的情況往往是解題的關鍵．異地出發(fā)，勻速運動的物體追趕前方同向運動的初速度為零的勻加速運動的物體時情況較為復雜，在相遇之前，它們之間的距離△s可能先減小后增大，也可能不斷減小，直至△s=0（相遇），而存不存在先變小后變大的情況，這完全取決于兩質點之間的初始距離s與v₀、a之間的大小關系．
  由s=v₀t-$\frac{1}{2}$at²可解得，$t=\frac{{v}_{0}±\sqrt{{v}_{0}^{2}-2as}}{a}$，可見：
（1）若v₀²=2as，即s=$\frac{{v}_{0}^{2}}{2a}$，則t=$\frac{{v}_{0}}{a}$時，甲、乙恰好相遇，△s為零．
（2）當v₀²＞2as，即$s＜\frac{{v}_{0}^{2}}{2a}$時，在甲、乙相遇前，甲、乙之間的距離始終在減小，直至相遇（最小距離△s=0），在t=$\frac{{v}_{0}}{a}$時，甲被乙超過，不會出現(xiàn)△s最小的情況．
（3）當v₀²＜2as，即$s＞\frac{{v}_{0}^{2}}{2a}$時，甲與乙不可能相遇，兩質點間距離會出現(xiàn)先變小后變大的情況，在t=$\frac{{v}_{0}}{a}$時，兩質點之間的距離最近，△s_min=s-$\frac{{v}_{0}^{2}}{2a}$
答：（1）若v₀²=2as，即s=$\frac{{v}_{0}^{2}}{2a}$，則t=$\frac{{v}_{0}}{a}$時，甲、乙恰好相遇，△s為零．
（2）當v₀²＞2as，即$s＜\frac{{v}_{0}^{2}}{2a}$時，在甲、乙相遇前，甲、乙之間的距離始終在減小，直至相遇（最小距離△s=0），在t=$\frac{{v}_{0}}{a}$時，甲被乙超過，不會出現(xiàn)△s最小的情況．
（3）當v₀²＜2as，即$s＞\frac{{v}_{0}^{2}}{2a}$時，甲與乙不可能相遇，兩質點間距離會出現(xiàn)先變小后變大的情況，在t=$\frac{{v}_{0}}{a}$時，兩質點之間的距離最近，△s_min=s-$\frac{{v}_{0}^{2}}{2a}$

點評 解決本題的關鍵理清兩物體的運動情況，結合運動學公式靈活求解．由s=v₀t-$\frac{1}{2}$at²可解得，$t=\frac{{v}_{0}±\sqrt{{v}_{0}^{2}-2as}}{a}$，據此式進行討論．