Question

如圖所示，M、N、P為很長(zhǎng)的平行邊界面，M與N和M與P間的間距分別為l₁、l₂，其間有方向都垂直于紙面向里勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域Ⅰ和Ⅱ，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小分別為B₁和B₂，且B₁≠B₂，有一帶正電的電量為q、質(zhì)量為m的粒子，以某一初速度既垂直磁場(chǎng)邊界N又垂直于磁場(chǎng)方向射入MN間的磁場(chǎng)區(qū)域．不計(jì)粒子的重力．求：
（1）要使粒子能穿過磁場(chǎng)區(qū)域Ⅰ進(jìn)入磁場(chǎng)區(qū)域Ⅱ，粒子的初速度υ₀至少應(yīng)為多少？
（2）若粒子進(jìn)入磁場(chǎng)區(qū)域Ⅰ的初速度υ₁=

2qB1

m

，則粒子第一次穿過磁場(chǎng)區(qū)域Ⅰ的時(shí)間t₁是多少？
（3）當(dāng)粒子初速度υ為多少時(shí)，粒子才能恰好穿過兩個(gè)磁場(chǎng)區(qū)域．

Answer 1

分析：（1）恰好能進(jìn)入Ⅱ磁場(chǎng)時(shí)速度恰好沿M邊界，則可確定運(yùn)動(dòng)的半徑，再由牛頓第二定律，結(jié)合向心力表達(dá)式，即可求解；
（2）根據(jù)牛頓第二定律，結(jié)合運(yùn)動(dòng)圓弧對(duì)應(yīng)的圓心角，即可求解；
（3）粒子在磁場(chǎng)B₂中的運(yùn)動(dòng)軌跡恰好與P邊界相切，根據(jù)牛頓第二定律，結(jié)合幾何關(guān)系，即可求解．

解答：解：（1）設(shè)粒子速度大小為υ₀時(shí)恰好能進(jìn)入Ⅱ磁場(chǎng)，則進(jìn)入Ⅱ磁場(chǎng)時(shí)速度恰好沿M邊界，所以半徑為：
r=l₁           
由qυ₀B=m

v 2 0

l1

       
得：υ₀=

qBl1

m

      
（2）粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)由qυ₁B=m

v 2 1

r1

   
得：r₁=2l₁     
所以，粒子在Ⅰ磁場(chǎng)中作勻速圓周運(yùn)動(dòng)對(duì)應(yīng)的圓心角為：α=

π

6

   
第一次穿過Ⅰ磁場(chǎng)的時(shí)間為：t₁=

T

l2

=

πm

6B1q

     
（3）設(shè)粒子速度為υ時(shí)，粒子在磁場(chǎng)B₂中的運(yùn)動(dòng)軌跡恰好與P邊界相切，軌跡如圖，
 
由qυB=m

υ2

R

 
得到：R₁=

mv

qB1

     
 R₂=

mv

qB2

      
又sinθ=

l1

R1

=

qB1l1

mv1

    
粒子在B₂中運(yùn)動(dòng)時(shí)有：R₂-R₂sinθ=l₂    
聯(lián)立解得：υ=

qB1l1+qB2l2

m

．
答：（1）要使粒子能穿過磁場(chǎng)區(qū)域Ⅰ進(jìn)入磁場(chǎng)區(qū)域Ⅱ，粒子的初速度υ₀至少應(yīng)為υ₀=

qBl1

m

；
（2）若粒子進(jìn)入磁場(chǎng)區(qū)域Ⅰ的初速度υ₁=

2qB1

m

，則粒子第一次穿過磁場(chǎng)區(qū)域Ⅰ的時(shí)間t₁是=

πm

6B1q

；
（3）當(dāng)粒子初速度υ為

qB1l1+qB2l2

m

時(shí)，粒子才能恰好穿過兩個(gè)磁場(chǎng)區(qū)域．

點(diǎn)評(píng)：考查牛頓第二定律與向心力綜合應(yīng)用，掌握運(yùn)動(dòng)的周期半徑與求解運(yùn)動(dòng)的時(shí)間的方法，注意畫出正確的運(yùn)動(dòng)軌跡與幾何關(guān)系的運(yùn)用．