Question

2．如圖所示，有一內(nèi)壁光滑的半球形碗，球心為O，最低點(diǎn)為C，在其內(nèi)壁上有兩個(gè)質(zhì)量相同的小球（可視為質(zhì)點(diǎn)）A和B，在兩個(gè)高度不同的水平面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，A、B兩球與O點(diǎn)的連線與豎直線OC間的夾角分別為α=53°和β=37°（sin37°=0.6，cos37°=0.8，sin53°=0.8，cos53°=0.6），則（　　）

• A． A、B兩球所受向心力的大小之比為4：3
• B． A、B兩球?qū)ν氲膲毫χ�比�?：4
• C． A、B兩球運(yùn)動(dòng)的周期之比為$\sqrt{3}$：2
• D． A、B兩球的動(dòng)能之比為64：27

Answer 1

分析 小球受重力和支持力，靠?jī)蓚�(gè)力的合力提供向心力，根據(jù)平行四邊形定則求出向心力的大小之比和支持力之比，從而得到球?qū)ν氲膲毫χ�比．根�?jù)牛頓第二定律求出周期、線速度之比．從而得出動(dòng)能之比．

解答 解：A、小球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，由重力和支持力的合力提供向心力，根據(jù)平行四邊形定則得：向心力F_n=mgtanθ，θ是半徑與豎直方向的夾角，則A、B兩球所受向心力的大小之比為：
F_nA：F_nB=tan53°：tan37°=16：9，故A錯(cuò)誤．
B、碗對(duì)球的支持力 N=$\frac{mg}{cosθ}$，則支持力之比為 N_A：N_B=cos37°：cos53°=4：3，根據(jù)牛頓第三定律知，A、B兩球?qū)ν氲膲毫χ�比�?：3，故B錯(cuò)誤．
CD、根據(jù)mgtanθ=m$\frac{{v}^{2}}{Rsinθ}$=m$\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$Rsinθ，解得：T=2π$\sqrt{\frac{Rcosθ}{g}}$，v=$\sqrt{gRtanθsinθ}$
則知A、B兩球運(yùn)動(dòng)的周期之比為：T_A：T_B=$\sqrt{cos53°}$：$\sqrt{cos37°}$=$\sqrt{3}$：2
動(dòng)能為：E_k=$\frac{1}{2}m{v}^{2}$
則A、B兩球的動(dòng)能之比為：E_kA：E_KB=tan53°sin53°：tan37°sin37°=64：27．故CD正確．
故選：CD

點(diǎn)評(píng) 解決本題的關(guān)鍵搞清向心力的來(lái)源，運(yùn)用牛頓第二定律得出支持力、線速度、周期的表達(dá)式，再求解比值．