Question

如圖4-5所示，一個(gè)光滑的圓錐體固定在水平桌面上，其軸線(xiàn)沿豎直方向，母線(xiàn)與軸線(xiàn)之間的夾角為θ=30°.一條長(zhǎng)為L(zhǎng)的繩（質(zhì)量不計(jì)），一端固定在圓錐體的頂點(diǎn)O處，另一端拴著一個(gè)質(zhì)量為m的小物體（物體可看作質(zhì)點(diǎn)），物體以速率v繞圓錐體的軸線(xiàn)做水平勻速圓周運(yùn)動(dòng).

圖4-5

（1）當(dāng)v=時(shí)，求繩對(duì)物體的拉力；

（2）當(dāng)v=時(shí)，求繩對(duì)物體的拉力.

Answer 1

解析：水平方向：F_Tsinθ-F_Ncosθ=                                        ①

豎直方向：F_Tcosθ+F_Nsinθ=mg                                                    ②

聯(lián)立①②兩式解得：F_N=mgsinθ-

由上可看出當(dāng)θ、L、m一定時(shí)，線(xiàn)速度v越大，支持力F_N越小，當(dāng)v滿(mǎn)足一定條件，設(shè)v=v₀時(shí)，能使F_N=0，此時(shí)錐面與物體間恰好無(wú)相互作用，即mgsinθ-=0

v₀=

將θ=30°代入上式得v₀=.

（1）當(dāng)v₁=＜v₀時(shí)，物體在錐面上運(yùn)動(dòng)，聯(lián)立①②兩式解得

F_T1=mgcosθ+=1.03mg.

（2）當(dāng)v₂=＞v₀時(shí)，物體己離開(kāi)錐面，但仍繞軸線(xiàn)做水平面內(nèi)的勻速圓周運(yùn)動(dòng)，設(shè)此時(shí)繩與軸線(xiàn)間的夾角為α（α＞θ），物體僅受重力和拉力作用，這時(shí)F_T2sinα=    ③

F_T2cosα=mg                                                                    ④

聯(lián)立③④兩式解得cosα=

所以α=60°

F_T2=mgcosα+==2mg.

答案：（1）1.03mg  （2）2mg