Question

如圖4-5所示，一個光滑的圓錐體固定在水平桌面上，其軸線沿豎直方向，母線與軸線之間的夾角為θ=30°.一條長為L的繩（質量不計），一端固定在圓錐體的頂點O處，另一端拴著一個質量為m的小物體（物體可看作質點），物體以速率v繞圓錐體的軸線做水平勻速圓周運動.

圖4-5

（1）當v=時，求繩對物體的拉力；

（2）當v=時，求繩對物體的拉力.

Answer 1

解析：水平方向：F_Tsinθ-F_Ncosθ=                                        ①

豎直方向：F_Tcosθ+F_Nsinθ=mg                                                    ②

聯(lián)立①②兩式解得：F_N=mgsinθ-

由上可看出當θ、L、m一定時，線速度v越大，支持力F_N越小，當v滿足一定條件，設v=v₀時，能使F_N=0，此時錐面與物體間恰好無相互作用，即mgsinθ-=0

v₀=

將θ=30°代入上式得v₀=.

（1）當v₁=＜v₀時，物體在錐面上運動，聯(lián)立①②兩式解得

F_T1=mgcosθ+=1.03mg.

（2）當v₂=＞v₀時，物體己離開錐面，但仍繞軸線做水平面內的勻速圓周運動，設此時繩與軸線間的夾角為α（α＞θ），物體僅受重力和拉力作用，這時F_T2sinα=    ③

F_T2cosα=mg                                                                    ④

聯(lián)立③④兩式解得cosα=

所以α=60°

F_T2=mgcosα+==2mg.

答案：（1）1.03mg  （2）2mg