Question

如圖所示，等腰直角三角形ABC的區(qū)域內(nèi)有一垂直于紙面向內(nèi)的勻強(qiáng)磁場，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，已知AB=2a，現(xiàn)有一束質(zhì)量為m，帶電量為q的正粒子在AB的中點(diǎn)O處沿著垂直與AB的方向以v₀打入磁場，在AC邊上放置一塊足夠大的熒光屏，當(dāng)v₀=

3aqB

m

時(shí)，
（1）判斷粒子能否打到熒光屏上．
（2）求粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間．

Answer 1

分析：（1）帶電粒子在磁場中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，由洛侖茲力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律和v₀=

3aqB

m

，求出軌跡半徑．
從0處打入磁場的粒子，當(dāng)軌跡與BC相切時(shí)，由幾何知識(shí)得出這種情況下軌跡的半徑，與粒子的軌跡半徑進(jìn)行比較，判斷粒子能否打到熒光屏上．
（2）畫出粒子的軌跡，求出圓心角，根據(jù)時(shí)間與周期的關(guān)系求解時(shí)間．

解答：解：（1）帶電粒子在磁場中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，由洛侖茲力提供向心力，有：qv0B=m

v 2 0

R

當(dāng)：v0=

3aqB

m

時(shí)，R=3a
從0處打入的粒子當(dāng)軌跡與BC相切時(shí)，知該圓軌跡的半徑R₁（圖中虛線所示）滿足：R1+a=

2

R1
得 R1=(

2

+1)a＜R=3a
所以粒子不能打到熒光屏上
（2）以v₀打入的粒子軌跡如圖（軌跡半徑為圖中實(shí)線所示），圓心為O′，圓心角為α，從BC邊上出射點(diǎn)為D，過D作AB垂線，垂足為E，設(shè)DE=x，則有：
R+a=Rsinα+Rcosα
得：sin2α=

7

9

α=

1

2

arcsin

7

9

運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t=

α

2π

T=

α

2π

?

2πm

qB

=

αm

qB

=

marcsin 7 9

2qB

答：
（1）粒子不能打到熒光屏上．
（2）粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為

marcsin 7 9

2qB

．

點(diǎn)評(píng)：本題實(shí)質(zhì)是有界磁場的問題，分析臨界情況下粒子能否射出BC是關(guān)鍵．求帶電粒子做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的時(shí)間常常用到t=

α

2π

T求時(shí)間，α是軌跡的圓心角．