Question

15．如圖所示，地面有一個(gè)固定的半圓形圓柱面，半圓形圓柱面半徑為R，距離圓心O為$\frac{R}{2}$的P點(diǎn)處有一質(zhì)點(diǎn)，過P點(diǎn)的水平線恰好經(jīng)過圓心O，現(xiàn)在確定一條從P到圓柱內(nèi)表面的光滑斜直軌道，使質(zhì)點(diǎn)從靜止開始沿軌道滑行到圓柱面上所經(jīng)歷時(shí)間最短，則該斜直軌道與豎直方向的夾角為40.6°，最短時(shí)間為$\sqrt{\frac{1.54R}{g}}$．

Answer 1

分析 質(zhì)點(diǎn)沿斜直軌道做勻加速運(yùn)動(dòng)，根據(jù)牛頓第二定律可得到加速度與直軌道傾角的關(guān)系．再由位移時(shí)間公式得到時(shí)間與傾角的關(guān)系，由數(shù)學(xué)知識(shí)解答．

解答 解：設(shè)軌道與水平方向的夾角為α，根據(jù)牛頓第二定律，有：
mgsinα=ma
解得：
a=gsinα  ①
根據(jù)正弦定理，斜面的長(zhǎng)度：
L=$\sqrt{{R}^{2}+（\frac{R}{2}）^{2}-{R}^{2}cosβ}$=R$\sqrt{1.25-cosβ}$ ②
結(jié)合幾何關(guān)系，有：
$\frac{sinα}{sinβ}$=$\frac{1}{\sqrt{1.25-cosβ}}$ ③
根據(jù)位移時(shí)間關(guān)系公式，有：
L=$\frac{1}{2}a{t}^{2}$    ④
聯(lián)立解得：
t=$\sqrt{\frac{2R}{g}（\frac{1.25-cosβ}{sinβ}）}$
對(duì)函數(shù)y=$\frac{1.25-cosβ}{sinβ}$討論：
對(duì)其一次求導(dǎo)，有：
$\frac{dy}{dβ}$=$\frac{sinβ-cosβ}{si{n}^{2}β}$
1、當(dāng)0°≤β≤45°時(shí)，$\frac{dy}{dβ}＞0$，說明β越大，y越小，即t越�。�
2、當(dāng)45°≤β≤90°時(shí)，$\frac{dy}{dβ}＜0$，說明β越大，y越大，即t越大；
故當(dāng)β=45°時(shí)，時(shí)間最短，此時(shí)sinα=sinβ×$\frac{1}{\sqrt{1.25-cosβ}}$=$\sqrt{\frac{2}{5\sqrt{2}-4}}$≈0.65
故α=40.6°，此時(shí)t=$\sqrt{\frac{2R}{g}（\frac{1.25-cos45°}{sin45°}）}$=$\sqrt{\frac{（10\sqrt{2}-8）R}{4g}}$≈$\sqrt{\frac{1.54R}{g}}$
故答案為：40.6°，$\sqrt{\frac{1.54R}{g}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題關(guān)鍵是明確滑塊的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，然后結(jié)合牛頓第二定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式列式求解；難點(diǎn)在于數(shù)學(xué)知識(shí)的運(yùn)用上，要會(huì)用導(dǎo)函數(shù)的知識(shí)求解極值．