Question

10．恢復(fù)系數(shù)是反映碰撞時(shí)物體變形恢復(fù)能力的參數(shù)，它只與碰撞物體的材料有關(guān)．兩物體碰撞后的恢復(fù)系數(shù)為$e=|\frac{{{v_1}'-{v_2}'}}{{{v_1}-{v_2}}}|$，其中v₁、v₂和v₁'、v₂'分別為物體m₁、m₂碰撞后的速度．某同學(xué)利用如下實(shí)驗(yàn)裝置測(cè)定物體m₁和m₂碰撞后恢復(fù)系數(shù)．實(shí)驗(yàn)步驟如下：
①如圖所示，將白紙、復(fù)寫紙固定在豎直放置的木條上，用來記錄實(shí)驗(yàn)中球m₁、球m₂與木條的撞擊點(diǎn)；
②將木條豎直立在軌道末端右側(cè)并與軌道接觸，讓入射球m₁從 斜軌上A點(diǎn)由靜止釋放，撞擊點(diǎn)為B'；
③將木條平移到圖中所示位置，入射球m₁從 斜軌上A點(diǎn)由靜止釋放，確定撞擊點(diǎn)；
④球m₂靜止放置在水平槽的末端相撞，將入射球m₁從 斜軌上A點(diǎn)由靜止釋放，球m₁和球m₂相撞后的撞擊點(diǎn)；
⑤測(cè)得B'與撞擊點(diǎn)N、P、M各點(diǎn)的高度差分別為h₁、h₂、h₃；
根據(jù)該同學(xué)的實(shí)驗(yàn)，回答下列問題：
（1）兩小球的質(zhì)量關(guān)系為m₁＞m₂（填“＞”、“=”或“＜”）
（2）木條平移后，在不放小球m₂時(shí)，小球m₁從斜軌頂端A點(diǎn)由靜止釋放，m₁的落點(diǎn)在圖中的P點(diǎn)，把小球m₂放在斜軌末端邊緣B處，小球m₁從斜軌頂端A點(diǎn)由靜止開始滾下，使它們發(fā)生碰撞，碰后小球m₁的落點(diǎn)在圖中點(diǎn)M．
（3）利用實(shí)驗(yàn)中測(cè)量的數(shù)據(jù)表示小球m₁和小球m₂碰撞后的恢復(fù)系數(shù)為e=$\sqrt{{h}_{2}}$（$\frac{1}{\sqrt{{h}_{1}}}$-$\frac{1}{\sqrt{{h}_{3}}}$）點(diǎn)．
（4）若在利用天平測(cè)量出兩小球的質(zhì)量分別為m₁、m₂，則滿足$\frac{{m}_{1}}{\sqrt{{h}_{2}}}$=$\frac{{m}_{1}}{\sqrt{{h}_{3}}}$+$\frac{{m}_{2}}{\sqrt{{h}_{1}}}$表示兩小球碰撞后動(dòng)量守恒；若滿足$\frac{{m}_{1}}{{h}_{2}}$=$\frac{{m}_{1}}{{h}_{3}}$+$\frac{{m}_{2}}{{h}_{1}}$表示兩小球碰撞前后機(jī)械能均守恒．

Answer 1

分析 （1）明確動(dòng)量守恒規(guī)律，知道實(shí)驗(yàn)原理，從而確定實(shí)驗(yàn)要求；
（2）明確兩球碰撞前后速度變化以及平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律，從而確定兩球的碰撞位置；
（3）根據(jù)平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律進(jìn)行分析，利用水平位移相等求出利用下落高度所表達(dá)式的速度公式，再根據(jù)恢復(fù)系數(shù)公式即可求出對(duì)應(yīng)的表達(dá)式；
（4）根據(jù)動(dòng)量守恒定律和機(jī)械能守恒定律列式，代入（3）中所求速度即可求出需要驗(yàn)證的表達(dá)式．

解答 解：（1）為了防止兩球碰后出現(xiàn)反彈現(xiàn)象，入射球的質(zhì)量一定要大于被碰球的質(zhì)量；
（2）由圖可知，兩小球打在豎直板上，則可知，三次碰撞中水平位移相等，則可知，水平速度越大，豎直方向下落的高度越小，則由碰撞規(guī)律可知，碰后被碰球的速度最大，故其下落高度最小，而碰后入射球速度最小，其下落高度最大，則可知，在不放小球m₂時(shí)，小球m₁從斜軌頂端A點(diǎn)由靜止釋放，m₁的落點(diǎn)在圖中的P點(diǎn)，而碰后入射球落到M點(diǎn)；
（3）根據(jù)平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律可知，下落時(shí)間t=$\sqrt{\frac{2h}{g}}$，則可知，速度v=$\frac{x}{t}$=$\frac{x\sqrt{g}}{\sqrt{2h}}$，則可解得：v₁=$\frac{x\sqrt{g}}{\sqrt{2{h}_{2}}}$，v₁’=$\frac{x\sqrt{g}}{\sqrt{2{h}_{3}}}$；v₂’=$\frac{x\sqrt{g}}{\sqrt{2{h}_{1}}}$，代入給出恢復(fù)系數(shù)表達(dá)式可得：e=$\sqrt{{h}_{2}}$（$\frac{1}{\sqrt{{h}_{1}}}$-$\frac{1}{\sqrt{{h}_{3}}}$）；
（4）若滿足動(dòng)量守恒，則一定有：mv₁=m₁v₁’+m₂v₂'
代入（3）中所求速度可得：
表達(dá)式應(yīng)為：$\frac{{m}_{1}}{\sqrt{{h}_{2}}}$=$\frac{{m}_{1}}{\sqrt{{h}_{3}}}$+$\frac{{m}_{2}}{\sqrt{{h}_{1}}}$；
若滿足機(jī)械能守恒，則有：
$\frac{1}{2}$mv₁²=$\frac{1}{2}$m₁v₁'²+$\frac{1}{2}$m₂v₂'²
代入求出的速度可得：
表達(dá)式為：
$\frac{{m}_{1}}{{h}_{2}}$=$\frac{{m}_{1}}{{h}_{3}}$+$\frac{{m}_{2}}{{h}_{1}}$
故答案為：（1）＞；（2）P  M； （3）$\sqrt{{h}_{2}}$（$\frac{1}{\sqrt{{h}_{1}}}$-$\frac{1}{\sqrt{{h}_{3}}}$）；（4）$\frac{{m}_{1}}{\sqrt{{h}_{2}}}$=$\frac{{m}_{1}}{\sqrt{{h}_{3}}}$+$\frac{{m}_{2}}{\sqrt{{h}_{1}}}$；$\frac{{m}_{1}}{{h}_{2}}$=$\frac{{m}_{1}}{{h}_{3}}$+$\frac{{m}_{2}}{{h}_{1}}$

點(diǎn)評(píng) 本題是由驗(yàn)證動(dòng)量守恒定律的實(shí)驗(yàn)改進(jìn)而來，關(guān)鍵要分析清楚實(shí)驗(yàn)的原理，同時(shí)要結(jié)合動(dòng)量守恒定律和平拋運(yùn)動(dòng)的相關(guān)知識(shí)列式分析．