Question

從地面上以初速度v₀豎直向上拋出一質(zhì)量為m的球，若運(yùn)動(dòng)過程中受到的空氣阻力與其速率成正比關(guān)系，球運(yùn)動(dòng)的速率隨時(shí)間變化規(guī)律如圖所示，t₁時(shí)刻到達(dá)最高點(diǎn)，再落回地面，落地時(shí)速率為v₁，且落地前球已經(jīng)做勻速運(yùn)動(dòng)．求：

（1）球從拋出到落地過程中克服空氣阻力所做的功；
（2）球拋出瞬間的加速度大小；
（3）球上升的最大高度H．

Answer 1

分析：（1）直接運(yùn)用動(dòng)能定理可求解球從拋出到落地過程中克服空氣阻力所做的功-Wf=

1

2

mv12-

1

2

mv02．
（2）落地前勻速運(yùn)動(dòng)，則mg-kv₁=0．剛拋出時(shí)加速度大小為a₀，則根據(jù)牛頓第二定律mg+kv₀=ma₀，即可解得球拋出瞬間的加速度大小a₀．
（3）上升時(shí)根據(jù)牛頓第二定律-（mg+kv）=ma可計(jì)算加速度a，取極短△t時(shí)間，速度變化△v，有：△v=a△t，上升全程∑△v=0-v₀=∑a△t，把a(bǔ)值代入，分析計(jì)算，可求得球上升的最大高度H．

解答：解：（1）由動(dòng)能定理得
Wf=

1

2

mv12-

1

2

mv02
克服空氣阻力做功
W=-Wf=

1

2

mv02-

1

2

mv12
（2）空氣阻力f=kv
落地前勻速運(yùn)動(dòng)，則mg-kv₁=0
剛拋出時(shí)加速度大小為a₀，則
mg+kv₀=ma₀
解得a0=(1+

v0

v1

)g
（3）上升時(shí)加速度為a，-（mg+kv）=ma
a=-g-

k

m

v
取極短△t時(shí)間，速度變化△v，有：
△v=a△t=-g△t-

k

m

v△t
又v△t=△h
上升全程∑△v=0-v0=-g∑△t-

k

m

∑△h
則v0=gt1+

k

m

H
H=

(v0-gt1)v1

g

答：（1）球從拋出到落地過程中克服空氣阻力所做的功為

1

2

mv02-

1

2

mv12；
（2）球拋出瞬間的加速度大小為(1+

v0

v1

)g；
（3）球上升的最大高度H為

(v0-gt1)v1

g

．

點(diǎn)評(píng)：本題綜合運(yùn)用了動(dòng)能定理和牛頓運(yùn)動(dòng)定律，運(yùn)用動(dòng)能定理和牛頓運(yùn)動(dòng)定律解題注意要合理地選擇研究的過程，列表達(dá)式求解．本題第（3）問較難，對(duì)數(shù)學(xué)的要求較高．