Question

9．某工地一傳輸工件的裝置可簡化為如圖所示的情形，AB為一段足夠大的$\frac{1}{4}$圓弧固定軌道，圓弧半徑R=5.6m，BC為一段足夠長的水平軌道，CD為一段$\frac{1}{4}$圓弧固定軌道，圓弧半徑r=1m，三段軌道均光滑．一長為L=2m、質量為M=1kg的平板小車最初停在BC軌道的最左端，小車上表面剛好與AB軌道相切，且與CD軌道最低點處于同一水平面．一可視為質點、質量為m=2kg的工件從距AB軌道最低點h高處沿軌道自由滑下，滑上小車后帶動小車也向右運動，小車與CD軌道左端碰撞（碰撞時間極短）后即被粘在C處．工件只有從CD軌道最高點飛出，才能被站在臺面DE上的工人接�。�工件與小車的動摩擦因數(shù)為μ=0.5，取g=10m/s²，求：
（1）若h為2.8m，則工件滑到圓弧底端B點時對軌道的壓力為多大？
（2）要使工件能被站在臺面DE上的工人接住h的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）工件在光滑圓弧上下滑的過程，運用機械能守恒定律或動能定理求出工件滑到圓弧底端B點時的速度．在B點，由合力提供向心力，由牛頓第二定律求出軌道對工件的支持力，從而得到工件對軌道的壓力．
（2）由于BC軌道足夠長，要使工件能到達CD軌道，工件與小車必須能達共速，根據(jù)動量守恒定律、能量守恒定律求出滑上小車的初速度大小，根據(jù)機械能守恒求出下滑的高度h=3m，要使工件能從CD軌道最高點飛出，h=3m為其從AB軌道滑下的最大高度，結合動量守恒定律和能量守恒定律、機械能守恒定律求出最小高度，從而得出高度的范圍．

解答 解：（1）工件從起點滑到圓弧軌道底端B點，設到B點時的速度為V_B，根據(jù)動能定理：
  mgh=$\frac{1}{2}m{v}_{B}^{2}$…①
工件做圓周運動，在B點，由牛頓第二定律得：
  N-mg=m$\frac{{v}_{B}^{2}}{R}$…②
由①②兩式可解得：N=40N     
由牛頓第三定律知，工件滑到圓弧底端B點時對軌道的壓力為 N′=N=40N     
（2）①由于BC軌道足夠長，要使工件能到達CD軌道，工件與小車必須能達共速，設工件剛滑上小車時的速度為v₀，工件與小車達共速時的速度為v₁，假設工件到達小車最右端才與其共速，規(guī)定向右為正方向，則對于工件與小車組成的系統(tǒng)，由動量守恒定律得：
  mv₀=（m+M）v₁ ③
由能量守恒定律得：μmgL=$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$-$\frac{1}{2}（m+M）{v}_{1}^{2}$       ④
對于工件從AB軌道滑下的過程，由機械能守恒定律得：
   mgh₁=$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$          ⑤
代入數(shù)據(jù)解得：h₁=3m．                        
②要使工件能從CD軌道最高點飛出，h₁=3m為其從AB軌道滑下的最大高度，設其最小高度為h′，剛滑上小車的速度為v₀′，與小車達共速時的速度為v₁′，剛滑上CD軌道的速度為v₂′，規(guī)定向右為正方向，由動量守恒定律得：
mv₀′=（m+M）v₁′…⑥
由能量守恒定律得：
   μmgL=$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{′2}$-$\frac{1}{2}M{v}_{1}^{′2}$-$\frac{1}{2}m{v}_{2}^{′2}$   ⑦
工件恰好滑到CD軌道最高點，由機械能守恒定律得：
   $\frac{1}{2}m{v}_{2}^{′2}$=mgr     ⑧
工件在AB軌道滑動的過程，由機械能守恒定律得：
   mgh′=$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{′2}$           ⑨
聯(lián)立．⑥⑦⑧⑨，代入數(shù)據(jù)解得：h′=$\frac{18}{7}$m     
綜上所述，要使工件能到達CD軌道最高點，應使h滿足：$\frac{18}{7}$m＜h≤3m．
答：（1）若h為2.8m，則工件滑到圓弧底端B點時對軌道的壓力為40N．
（2）要使工件能被站在臺面DE上的工人接住h的取值范圍是$\frac{18}{7}$m＜h≤3m．

點評 本題綜合考查了動量守恒定律、機械能守恒定律、能量守恒定律，關鍵要抓住臨界狀態(tài)：速度相同，選擇合適的規(guī)律進行求解．