Question

如圖所示，虛線L₁、L₂之間是磁感應強度為B₁的勻強磁場，虛線L₂、L₃之間是磁感應強度為B₂的勻強磁場，L₁、L₂、L₃都水平，L₂、L₃高度差為a．質量為m、邊長為a的正方形線框自某一高度由靜止下落，依次經過兩勻強磁場區(qū)域．已知L₁、L₂間高度為2a，線框在進入B₁的過程中做勻速運動，速度大小為v₁，在B₁中加速一段時間后又勻速進入和穿出B₂，進入和穿出B₂時的速度恒為v₂，求：
（1）B₁：B₂；            
（2）v₁：v₂；
（3）在整個下落過程中線框中產生的焦耳熱．

Answer 1

分析：線框在進入B₁的過程中勻速運動，即線框所受重力和線框所受的安培力平衡，當線框剛進入B₂的過程中，線框所受的重力和安培培力仍舊平衡，注意此時線框所受的安培力有兩個，B₁磁場和B₂磁場的作用力，兩個力的合力與重力平衡；當線框離開磁場B₂的過程中，同樣是安培力和重力平衡，據(jù)三種情況下的平衡方程，可以求出相應磁感應強度和速度的比值；整個過程中重力做功重力勢能減小，線框的動能增加，線圈中產生焦耳熱，根據(jù)能量守恒可以知道重力勢能的減少量等于線框動能的增量和產生焦耳熱之和．

解答：解：（1）因為線框進入磁場B₁時做速度為v₁的勻速運動，線框所受安培力與重力平衡，固有：
B₁Ia=mg
又因為I=

B1av1

R

即

B 2 1 a2v1

R

=mg          ①
當線框從B₁進入B₂的過程中做速度為v₂的勻速運動，有：
（B₁-B₂）I₂a=mg
又因為I2=

(B1-B2)av2

R

即

(B1-B2)2a2v2

R

=mg        ②
當線框出磁場B₂的過程中，線框受力平衡，有：
B₂I₃v₂=mg
此時電流I3=

B2av2

R

即

B22a2v2

R

=mg         ③
由①②③得：

B1

B2

=

2

1

v1

v2

=

1

4

（2）根據(jù)能量守恒可知：減少的重力勢能等于線框增加的動能和線圈中產生的熱量之和即：
mg4a=Q+（

1

2

m

v

2 2

-

1

2

m

v

2 1

）     ④
又因為線框加速的過程是在線框完全進入B₁到線框剛開入B2的這一過程中，根據(jù)題意，在這一過程中只有重力對線框做功，故有：
mga=

1

2

m

v

2 2

-

1

2

m

v

2 1

        ⑤
由④和⑤知，線圈中產生的焦耳熱Q=3mga
答：（1）B₁：B₂=2：1
（2）v₁：v₂=1：4
（3）在整個下落過程中線框中產生的焦耳熱Q=3mga．

點評：抓住三個過程中線框均處于平衡狀態(tài)，根據(jù)平衡列式，能正確表示出安培力的大�。�在整個過程中遵守能量守恒．