Question

如圖1所示為一種獲得高能粒子的裝置，環(huán)形區(qū)域內(nèi)存在垂直紙面向外．大小可調(diào)節(jié)的均勻磁場(chǎng)，質(zhì)量為m，電量+q的粒子在環(huán)中作半徑為R的圓周運(yùn)動(dòng)，A、B為兩塊中心開有小孔的極板，原來電勢(shì)都為零，每當(dāng)粒子飛經(jīng)A板時(shí)，A板電勢(shì)升高為U，B板電勢(shì)仍保持為零，粒子在兩板間電場(chǎng)中得到加速，每當(dāng)粒子離開B板時(shí)，A板電勢(shì)又降為零，粒子在電場(chǎng)一次次加速下動(dòng)能不斷增大，而繞行半徑不變．
（l）設(shè)t=0時(shí)粒子靜止在A板小孔處，在電場(chǎng)作用下加速，并繞行第一圈，求粒子繞行n圈回到A板時(shí)獲得的總動(dòng)能E_n．
（2）為使粒子始終保持在半徑為R的圓軌道上運(yùn)動(dòng)，磁場(chǎng)必須周期性遞增，求粒子繞行第n圈時(shí)的磁感應(yīng)強(qiáng)度B_n．
（3）求粒子繞行n圈所需的總時(shí)間t_n（設(shè)極板間距遠(yuǎn)小于R）．
（4）在圖2中畫出A板電勢(shì)U與時(shí)間t的關(guān)系（從t=0起畫到粒子第四次離開B板時(shí)即可）．
（5）在粒子繞行的整個(gè)過程中，A板電勢(shì)是否可始終保持為+U？為什么？

Answer 1

分析：（1）根據(jù)動(dòng)能定理，即可求解；
（2）根據(jù)動(dòng)能定理與牛頓第二定律相結(jié)合，即可求解；
（3）根據(jù)周期與線速度的公式，即可求出繞行n圈所需的總時(shí)間t_n．
（4）粒子在電場(chǎng)中被加速，則速度越大時(shí)，加速時(shí)間越短，但加速電壓不變，從而即可求解；
（5）根據(jù)粒子在電場(chǎng)中電場(chǎng)力做功，導(dǎo)致動(dòng)能變化，來確定A板電勢(shì)不能恒定，否則就得不到持續(xù)加速．

解答：解：（1）粒子在電場(chǎng)中加速運(yùn)動(dòng)，
根據(jù)動(dòng)能定理，則有E_n=nqU
（2）∵nqU=

1

2

mv_n²
∴v_n=

2nqU m

      
由牛頓第二定律，則有

m v 2 n

R

=qv_nB_n   
解得：B_n=

mvn

qR

以v_n結(jié)果代入，B_n=

m

qR

2nqU m

=

1

R

2nmU q

（3）繞行第n圈需時(shí)

2πR

vn

=2πR

m 2qv

1

n

∴t_n=2πR

m 2qv

（1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

）
（4）根據(jù)粒子在電場(chǎng)中加速，可知，隨著速度越大，則加速時(shí)間越短．
因此，如圖所示，（對(duì)圖的要求：越來越近的等幅脈沖）
（5）不可以，因?yàn)檫@樣粒子在A、B之間飛行時(shí)電場(chǎng)對(duì)其做功+qU，使之加速，
在A、B之外飛行時(shí)電場(chǎng)又對(duì)其做功-qU使之減速，粒子繞行一周，電場(chǎng)對(duì)其作的總功為零，能量不會(huì)增大．
答：（l）設(shè)t=0時(shí)粒子靜止在A板小孔處，在電場(chǎng)作用下加速，并繞行第一圈，則粒子繞行n圈回到A板時(shí)獲得的總動(dòng)能E_n=nqU．
（2）為使粒子始終保持在半徑為R的圓軌道上運(yùn)動(dòng)，磁場(chǎng)必須周期性遞增，則粒子繞行第n圈時(shí)的磁感應(yīng)強(qiáng)度B_n=

1

R

2nmU q

．
（3）則粒子繞行n圈所需的總時(shí)間t_n=2πR

m 2qv

（1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

）（設(shè)極板間距遠(yuǎn)小于R）．
（4）在圖2中畫出A板電勢(shì)U與時(shí)間t的關(guān)系如上圖所示；
（5）在粒子繞行的整個(gè)過程中，A板電勢(shì)不可始終保持為+U，因?yàn)檫@樣粒子在A、B之間飛行時(shí)電場(chǎng)對(duì)其做功+qv，使之加速，
在A、B之外飛行時(shí)電場(chǎng)又對(duì)其做功-qv使之減速，粒子繞行一周，電場(chǎng)對(duì)其作的總功為零，能量不會(huì)增大．

點(diǎn)評(píng)：考查動(dòng)能定理、牛頓第二定律的應(yīng)用，掌握線速度與周期的關(guān)系式，理解粒子在電場(chǎng)中加速的原理．