Question

14．如圖所示平面直角坐標(biāo)系xoy，P點(diǎn)在x軸上，OP距離為L(zhǎng)，Q點(diǎn)在y軸負(fù)方向上某處；在第一象限有平行y軸的勻強(qiáng)電場(chǎng)，第二象限內(nèi)有一圓形區(qū)域與x軸相切于A點(diǎn)，圓形區(qū)域的半徑為L(zhǎng)，在第四象限未知的矩形區(qū)域（圖中未畫(huà)出），圓形區(qū)域和矩形區(qū)域有相同的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁場(chǎng)垂直于xoy平面（圖中未畫(huà)出），電荷量為+q，質(zhì)量為m、速度大小v₀的粒子a從A點(diǎn)與x軸成60⁰角進(jìn)入圓形磁場(chǎng)，出磁場(chǎng)后垂直y軸經(jīng)C點(diǎn)進(jìn)入電場(chǎng)，再?gòu)腜點(diǎn)出射；質(zhì)量為m、電荷量為-q、速率為$\sqrt{2}$v₀的粒子b，從Q點(diǎn)向與y軸成45^°角方向發(fā)射，經(jīng)過(guò)并離開(kāi)矩形磁場(chǎng)區(qū)域后與P點(diǎn)出射的粒子a相碰，相碰時(shí)粒子速度方向相反，不計(jì)粒子重力和粒子間相互作用力，求：

（1）圓形區(qū)域內(nèi)的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小和方向；
（2）第一象限的電場(chǎng)強(qiáng)度大��；
（3）矩形區(qū)域的最小面積．

Answer 1

分析 （1）正粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，畫(huà)出軌跡，結(jié)合幾何關(guān)系求解軌道半徑，根據(jù)牛頓第二定律列式求解磁感應(yīng)強(qiáng)度；
（2）粒子在電場(chǎng)中做類似平拋運(yùn)動(dòng)，根據(jù)類似平拋運(yùn)動(dòng)的分位移公式列式求解即可；
（3）在矩形區(qū)域中運(yùn)動(dòng)的粒子的速度偏轉(zhuǎn)角度為90°，畫(huà)出軌跡，結(jié)合幾何關(guān)系確定最小磁場(chǎng)面積．

解答 解：（1）粒子運(yùn)動(dòng)軌跡如圖所示，由幾何關(guān)系得：r=L，
粒子做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，洛倫茲力提供向心力，
由牛頓第二定律得：qv₀B=m$\frac{{v}_{0}^{2}}{r}$，解得：B=$\frac{m{v}_{0}}{qL}$，方向：垂直于紙面向外；
（2）粒子從C到P過(guò)程是類似平拋運(yùn)動(dòng)，根據(jù)分運(yùn)動(dòng)公式，有：
2L=v₀t，$\frac{1}{2}$L=$\frac{1}{2}$at²=$\frac{1}{2}$$\frac{qE}{m}$at²，解得：E=$\frac{m{v}_{0}^{2}}{qL}$；
（3）帶負(fù)電荷的粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，經(jīng)過(guò)矩形區(qū)域后速度偏轉(zhuǎn)角為90°，
洛倫茲力提供向心力，由牛頓第二定律得：qvB=m$\frac{{v}^{2}}{R}$，解得：$\frac{\sqrt{2}m{v}_{0}}{qB}$，
粒子運(yùn)動(dòng)軌跡如圖所示：

磁場(chǎng)區(qū)域?qū)��?yīng)的最小寬度：b=R-$\frac{\sqrt{2}}{2}$R=（$\sqrt{2}$-1）L，
磁場(chǎng)區(qū)域?qū)��?yīng)的最小長(zhǎng)度：a=$\sqrt{2}$R=2L，
故最小面積為：S=ab=2（$\sqrt{2}$-1）L²；
答：（1）圓形區(qū)域內(nèi)磁場(chǎng)感應(yīng)強(qiáng)度B的大小為$\frac{m{v}_{0}}{qL}$，方向：垂直于紙面向外；
（2）第一象限內(nèi)勻強(qiáng)電場(chǎng)的場(chǎng)強(qiáng)大小E為$\frac{m{v}_{0}^{2}}{qL}$；
（3）矩形區(qū)域的最小面積為2（$\sqrt{2}$-1）L²．

點(diǎn)評(píng) 本題關(guān)鍵是明確粒子的運(yùn)動(dòng)規(guī)律、畫(huà)出運(yùn)動(dòng)軌跡，然后結(jié)合牛頓第二定律、類似平拋運(yùn)動(dòng)的分位移公式和幾何關(guān)系列式求解；
帶電粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)解題一般程序是
  1、畫(huà)軌跡：確定圓心，幾何方法求半徑并畫(huà)出軌跡．
  2、找聯(lián)系：軌跡半徑與磁感應(yīng)強(qiáng)度、速度聯(lián)系；偏轉(zhuǎn)角度與運(yùn)動(dòng)時(shí)間相聯(lián)系，時(shí)間與周期聯(lián)系．
  3、用規(guī)律：牛頓第二定律和圓周運(yùn)動(dòng)的規(guī)律．