Question

（19分）如圖所示，在光滑絕緣的水平面上，固定一絕緣的、邊長(zhǎng)為的正方形方框，方框內(nèi)有大小可調(diào)、方向豎直向下的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，方框左邊界的中點(diǎn)有一小孔，恰能讓質(zhì)量為m、帶電量為+q的小球b（可視為質(zhì)點(diǎn)）無(wú)阻礙的通過(guò)。初始時(shí)，小球b靜止在小孔處。邊界線MN的左側(cè)有一范圍足夠大的勻強(qiáng)電場(chǎng)區(qū)域，電場(chǎng)的電場(chǎng)強(qiáng)度為E，方向水平向左，MN的右側(cè)與方框的左側(cè)間的距離可忽略不計(jì)。現(xiàn)有另一質(zhì)量為、不帶電的小球a以速度正對(duì)b球運(yùn)動(dòng)。設(shè)所有的碰撞均無(wú)能量損失和電量的轉(zhuǎn)移，不計(jì)一切摩擦，則：

（1）求小球a、b首次碰后的速度、；
（2）調(diào)節(jié)方框內(nèi)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小，使小球b與方框經(jīng)過(guò)最少次數(shù)的碰撞后，從小孔離開(kāi)。求小球a、b從開(kāi)始相碰到再次相碰所用的時(shí)間；
（3）方框內(nèi)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度滿足什么條件時(shí)，可使小球b繞方框中心運(yùn)動(dòng)一周后離開(kāi)磁場(chǎng)。

Answer 1

（1），方向向左；，方向向右（2） （3） 或

試題分析：（1）a與b發(fā)生彈性碰撞，滿足動(dòng)量守恒和機(jī)械能守恒，有：


聯(lián)立解得：，，碰后a的速度方向向左，b的速度方向向右。
（2）當(dāng)小球b做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為時(shí)，與方框碰撞3次后從小孔離開(kāi)。
由：，得：
小球b在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為：
小球b離開(kāi)磁場(chǎng)后經(jīng)時(shí)間追上小球a，則：
而 
解得：
則a與b從開(kāi)始相碰到再次相碰所用的時(shí)間為：
（3）當(dāng)小球b做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑滿足時(shí)可離開(kāi)磁場(chǎng)，此時(shí)有：

當(dāng)小球做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑滿足時(shí)可離開(kāi)磁場(chǎng)，此時(shí)有：