Question

（2010?湖南模擬）如圖所示，平面直角坐標系的y軸豎直向上，x軸上的P點與Q點關(guān)于坐標原點O對稱，距離為2a．有一簇質(zhì)量為m、帶電量為+q的帶電微粒，在xoy平面內(nèi)，從P點以相同的速率斜向右上方的各個方向射出（即與x軸正方向的夾角θ，0°＜θ＜90°），經(jīng)過某一個垂直于xoy平面向外、磁感應強度大小為B的有界勻強磁場區(qū)域后，最終會聚到Q點，這些微粒的運動軌跡關(guān)于y軸對稱．為使微粒的速率保持不變，需要在微粒的運動空間再施加一個勻強電場．重力加速度為g．求：
（1）勻強電場場強E的大小和方向；
（2）若一個與x軸正方向成30°角射出的微粒在磁場中運動的軌道半徑也為a，求微粒從P點運動到Q點的時間t；
（3）若微粒從P點射出時的速率為v，試推導微粒在x＞0的區(qū)域中飛出磁場的位置坐標x與y之間的關(guān)系式．

Answer 1

分析：（1）離子進入磁場后，電場力下重力合力為0，受到洛倫茲力作用做勻速圓周運動．
（2）先根據(jù)幾何關(guān)系求出進入和離開磁場時的坐標，求出粒子運動的路程，根據(jù)時間等于路程除以速率求解；
（3）根據(jù)幾何關(guān)系表示出x、y與半徑r的關(guān)系，帶入數(shù)據(jù)即可得出x與y之間滿足的關(guān)系式．

解答：解：（1）由題意知，要保證微粒的速率不變，則微粒所受電場力與重力平衡：
                 qE=mg…①
   解得：E=

mg

q

…②方向豎直向上
  （2）設(shè)A、C分別為微粒在磁場中運動的射入點和射出點，根據(jù)題意畫出微粒的運動軌跡如圖所示根據(jù)幾何關(guān)系可得：
           

AC

=

2θ

360°

2πa…③
           PA=

a

cosθ

atanθ…④
設(shè)微粒運動的速率為v，由牛頓定律：
              qvB=m

v2

a

…⑤
微粒從P點運動到Q運動的路程為s，則：
              s=2PA+

AC

AC…⑥
               t=

s

v

聯(lián)解③④⑤⑥得：
          t=

(2 3 +π)m

3qB

…⑦
（3）根據(jù)題意作出粒子在x＞0區(qū)域內(nèi)的運動示意如圖所示，設(shè)微粒飛出磁場位置為C，在磁場中運動的軌道半徑為r，根據(jù)牛頓定律和幾何關(guān)系可得：
           qBv=m

v2

r

…⑧
              x=rsinθ…（⑨
      y=(

a

cosθ

-rtanθ)sinθ   …⑩
聯(lián)解（⑧⑨⑩）得：
    y=

Bq(ax-x2)

m2v2-B2q2x2

…（14）

答案為：（1勻強電場場強：E=

mg

q

，方向豎直向上
       （2）微粒從P點運動到Q點的時間：t=

(2 3 +π)m

3qB

        （3微粒在x＞0的區(qū)域中飛出磁場的位置坐標x與y之間的關(guān)系式：y=

Bq(ax-x2)

m2v2-B2q2x2

點評：本題是帶電粒子在磁場中做勻速圓周運動，要求同學們能畫出粒子運動的軌跡，結(jié)合幾何關(guān)系求解，知道半徑公式及周期公式，難度較大