Question

如圖所示，水平圓盤半徑為R，可繞過圓盤中心的豎直軸轉(zhuǎn)動(dòng)，在圓盤的邊緣用長為R的細(xì)線拴著質(zhì)量為m的小球，圓盤靜止時(shí)小球離地面高度為

3

2

R，拴小球的細(xì)線能承受的最大拉力為

2

3

3

mg，現(xiàn)讓圓盤轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度緩慢增加，求：①細(xì)線欲斷不斷時(shí)圓盤轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度為多大？②細(xì)線斷開后小球落地點(diǎn)到轉(zhuǎn)軸的距離為多少？（結(jié)果保留根號(hào)）

Answer 1

分析：（1）讓圓盤轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度緩慢增加，細(xì)線與豎直方向的夾角緩慢增大，細(xì)線的拉力緩慢增大，細(xì)線能承受的拉力最大時(shí)，細(xì)線與豎直方向的夾角達(dá)到最大．由重力和細(xì)線的拉力的合力提供小球的向心力，根據(jù)牛頓第二定律求解角速度．
（2）細(xì)線斷開后小球做平拋運(yùn)動(dòng)，由離地的高度求出運(yùn)動(dòng)時(shí)間，求出水平位移，由幾何知識(shí)求出球落地點(diǎn)到轉(zhuǎn)軸的距離．

解答：解：（1）設(shè)細(xì)線的拉力恰好達(dá)到最大時(shí)與豎直方向的夾角為α，此時(shí)，小球圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為r=R+Rsinα．
∵cosα=

mg

T

=

3

2

∴α=30°，所以r=

3

2

R
根據(jù)牛頓第二定律得
   mgtan30°=mω²r
解得ω=

1

3

2 3 g R

（2）細(xì)線斷開后小球做平拋運(yùn)動(dòng)，初速度為v=ωr=

2 3 gR

2

高度h=R+

3

2

R-Rcos30°=R
則平拋運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t=

2R g

，水平位移x=vt

3

R
根據(jù)幾何知識(shí)得到，細(xì)線斷開后小球落地點(diǎn)到轉(zhuǎn)軸的距離為
   S=

x2+(1.5R)2

=

3 + 9 4

R
答：
①細(xì)線欲斷不斷時(shí)圓盤轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度為ω=

1

3

2 3 g R

．
②細(xì)線斷開后小球落地點(diǎn)到轉(zhuǎn)軸的距離為

3 + 9 4

R．

點(diǎn)評(píng)：本題是圓錐擺與平拋運(yùn)動(dòng)的綜合應(yīng)用問題．容易產(chǎn)生錯(cuò)誤的地方有兩點(diǎn)：一是圓錐擺的半徑，二是小球落地點(diǎn)到轉(zhuǎn)軸的距離．