Question

3．如圖所示，平面直角坐標系中的第Ⅱ象限內(nèi)有半徑為R的圓分別與x軸、y軸相切于M、N點，圓內(nèi)存在垂直坐標系平面的勻強磁場．在第Ⅰ象限內(nèi)存在沿y軸方向的勻強電場，電場強度大小為E．一質(zhì)量為m、電荷量為q的粒子從M點射入磁場后恰好垂直y軸進入電場，最后從Q（$\sqrt{3}$R，0）點射出電場，出射方向與x軸夾角α=60°，粒子的重力不計，求：
（1）粒子進入電場時的速率v₀；
（2）勻強磁場的磁感應強度大小B．

Answer 1

分析 （1）粒子垂直于電場進入第一象限，粒子做類平拋運動，由到達M的速度方向可利用速度的合成與分解得知該點y方向的速度．結(jié)合牛頓第二定律求得粒子的速率v₀；
（2）根據(jù)運動學的公式，求出粒子進入電場時的位置，畫出粒子運動的軌跡，根據(jù)圖象中的幾何關(guān)系求出粒子運動的半徑，應用牛頓第二定律求出磁感應強度．

解答 解：（1）在M處，粒子的y軸分速度：v_y=v₀tanα=$\sqrt{3}$v₀，
設粒子在電場中運動時間為t，在x軸方向勻速運動：$\sqrt{3}$R=v₀t，
設y軸方向勻加速運動的加速度為a，由牛頓第二定律得：qE=ma，
豎直分速度：v_y=at，解得：v₀=$\sqrt{\frac{qER}{m}}$；
（2）粒子運動軌跡如圖所示，O₁為磁場圓的圓心，O₂為粒子軌跡圓的圓心，
P′為粒子射出磁場的位置，由題意可知粒子垂直y軸進入電場，
則P′O₂∥PO₁，且P′O₁=PO₁=R，O₂P=O₂P′，由幾何關(guān)系可知O₁P′O₂P為菱形，
即粒子軌跡圓半徑：r=R，粒子在磁場中做圓周運動，洛倫茲力提供向心力，
由牛頓第二定律：qv₀B=m$\frac{{v}_{0}^{2}}{r}$，解得：B=$\sqrt{\frac{mE}{qR}}$；
答：（1）粒子進入電場時的速率v₀為$\sqrt{\frac{qER}{m}}$；
（2）勻強磁場的磁感應強度大小B為$\sqrt{\frac{mE}{qR}}$．

點評 粒子在電場中運動偏轉(zhuǎn)時，常用能量的觀點來解決問題，有時也要運用運動的合成與分解．粒子在磁場中做勻速圓周運動的圓心、半徑及運動時間的確定也是本題的一個考查重點，要正確畫出粒子運動的軌跡圖，能熟練運用幾何知識解決物理問題．