Question

（2008?肇慶二模）如圖所示，足夠長的矩形區(qū)域abcd內(nèi)充滿磁感應(yīng)強(qiáng)度為B、方向垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場，現(xiàn)從ad邊的中心O點(diǎn)處，垂直磁場方向射入一速度為v₀的帶正電粒子，v₀與ad邊的夾角為30°．已知粒子質(zhì)量為m，帶電量為q，ad邊長為L，不計粒子的重力．
（1）若要使粒子能從ab邊射出磁場，求v₀的大小范圍；
（2）若要求粒子在磁場中運(yùn)動的時間最長，此最長時間是多少？與粒子在磁場中運(yùn)行最長時間相對應(yīng)的v₀的大小范圍是多少？

Answer 1

分析：（1）根據(jù)牛頓第二定律，由洛倫茲力提供向心力，結(jié)合幾何關(guān)系可確定半徑的范圍，即可求解；
（2）根據(jù)題意確定運(yùn)動軌跡，再由圓心角與周期公式，即可確定最長運(yùn)動的時間；根據(jù)半徑公式與半徑的取值，即可求解．

解答：解：（1）如答圖所示，當(dāng)粒子的速度大于與R₁相對應(yīng)的速度v₁時，粒子將從dc邊射出．
由幾何關(guān)系可得：R₁=L ①
由洛侖茲力和向心力公式可得：m

v 2 1

R1

=qv1B②
當(dāng)粒子的速度小于與R₂相對應(yīng)的速度v₂時，粒子將從ad邊射出．
由幾何關(guān)系可得：

L

2

-R2=

R2

2

③
由③式解得：R2=

L

3

④
由洛侖茲力和向心力公式可得：m

v 2 2

R2

=qv2B⑤
將①④式分別代入②⑤式可解得：v1=

qBL

m

v2=

qBL

3m

⑥
所以v₀的取值范圍是

qBL

3m

＜v0≤

qBL

m

⑦
（2）粒子在磁場中運(yùn)動的時間最長，其做圓周運(yùn)動的圓心角必然最大，在答圖中，當(dāng)粒子的速度小于v₂時，粒子從ad邊的不同位置射出時，其半徑雖不同，但圓心角的夾角都是

5

6

×2π，所以粒子在磁場中的運(yùn)動時間也是

5T

6

，此即粒子在磁場中運(yùn)動的最長時間
由向心力和洛侖茲力公式可得：T=

2πm

qB

⑧
所以粒子運(yùn)動的最長時間為：t=

5πm

3qB

⑨
與粒子在磁場中運(yùn)行最長時間相對應(yīng)的v₀的大小范圍是：0＜v0≤

qBL

3m

答：（1）若要使粒子能從ab邊射出磁場，則v₀的大小范圍是

qBL

3m

＜v0≤

qBL

m

；
（2）若要求粒子在磁場中運(yùn)動的時間最長，此最長時間是：t=

5πm

3qB

；與粒子在磁場中運(yùn)行最長時間相對應(yīng)的v₀的大小范圍是：0＜v0≤

qBL

3m

．

點(diǎn)評：考查牛頓第二定律的應(yīng)用，掌握幾何關(guān)系在題中的運(yùn)用，理解在磁場中運(yùn)動時間與圓心角的關(guān)系．注意本題關(guān)鍵是畫出正確的運(yùn)動軌跡．