Question

12．如圖所示，光滑平臺(tái)固定在水平面上，平臺(tái)中央放有小物體A和B，兩者彼此接觸，物體A的上表面是半徑為R（R＜＜L）的光滑半圓形軌道，現(xiàn)將一物體C從圓心等高處由靜止沿軌道下滑，已知A，B，C的質(zhì)量均為m，在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，A，C始終保持接觸，試求：

（1）若鎖定A物體，則物體C滑至軌道最低點(diǎn)時(shí)，軌道A受到的壓力；
（2）若A未鎖定，則物體A，B剛分離時(shí)，物體B的速度．
（3）在滿足（2）的條件下，物體A，B分離后，物體C能到達(dá)距軌道最高點(diǎn)的高度．

Answer 1

分析 （1）若鎖定A物體，則物體C滑至軌道最低點(diǎn)的過(guò)程中小球的機(jī)械能守恒，由機(jī)械能守恒求出小球的速度，然后結(jié)合牛頓第二定律即可求出小球?qū)�軌道A的壓力；
（2）若A未鎖定，則小球到達(dá)最低點(diǎn)后A、B分離，由動(dòng)量守恒定律定律即可求出物體A，B剛分離時(shí)，物體B的速度．
（3）在滿足（2）的條件下，物體A，B分離后，物體A與小球組成的系統(tǒng)的動(dòng)量守恒，即可機(jī)械能守恒即可求出物體C能到達(dá)距軌道最高點(diǎn)的高度．

解答 解：（1）若鎖定A物體，則物體C滑至軌道最低點(diǎn)的過(guò)程中小球的機(jī)械能守恒，由機(jī)械能守恒得：
$mgR=\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$
所以：${v}_{0}=\sqrt{2gR}$
小球在最低點(diǎn)受到重力和支持力，${F}_{N}-mg=\frac{m{v}_{0}^{2}}{R}$
所以：F_N=3mg
由牛頓第三定律可知，軌道A受到的壓力是3mg．
（2）若A未鎖定，則小球下滑的過(guò)程中，A與B一起向右運(yùn)動(dòng)，小球到達(dá)最低點(diǎn)后A、B分離，選取向左為正方向，設(shè)C的速度是v₁，A與B的速度是v₂，由動(dòng)量守恒定律定律：mv₁+2mv₂=0
小球下滑的過(guò)程中，ABC組成的系統(tǒng)的機(jī)械能守恒，則：$\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}+\frac{1}{2}•2m{v}_{2}^{2}=mgR$
聯(lián)立方程解得：${v}_{1}=2\sqrt{\frac{gR}{3}}$，${v}_{2}=-\sqrt{\frac{gR}{3}}$
（3）物體A，B分離后，小球C與A組成的系統(tǒng)的動(dòng)能守恒，動(dòng)量守恒，物體C能到達(dá)距軌道最高點(diǎn)時(shí)，C與A的速度相等，則：
mv₁+mv₂=2m•v₃
$\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}+\frac{1}{2}•m{v}_{2}^{2}=\frac{1}{2}m{v}_{3}^{2}+mgh$
聯(lián)立得：${v}_{3}=\sqrt{\frac{gR}{12}}$，h=0.75R
答：（1）若鎖定A物體，則物體C滑至軌道最低點(diǎn)時(shí)，軌道A受到的壓力是3mg；
（2）若A未鎖定，則物體A，B剛分離時(shí)，物體B的速度是$\sqrt{\frac{gR}{3}}$，方向向右．
（3）在滿足（2）的條件下，物體A，B分離后，物體C能到達(dá)距軌道最高點(diǎn)的高度是0.75R．

點(diǎn)評(píng) 本題是三個(gè)物體組成系統(tǒng)的動(dòng)量守恒問(wèn)題，由于研究對(duì)象較多，所以難度系數(shù)稍微增大．