Question

13．如圖甲所示，平行正對(duì)金屬板A、B間距為d，板長(zhǎng)為L(zhǎng)，板面水平，加電壓后其間勻強(qiáng)電場(chǎng)的場(chǎng)強(qiáng)大小為E=$\frac{2}{π}$V/m，方向豎直向上．板間有周期性變化的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小隨時(shí)間變化的規(guī)律如圖乙所示，設(shè)磁感應(yīng)強(qiáng)度垂直紙面向里為正方向．T=0時(shí)刻，一帶電粒子從電場(chǎng)左側(cè)靠近B板處（粒子與極板不接觸）以水平向右的初速度v₀開始做勻速直線運(yùn)動(dòng)．己知B₁=0.2T，B₂=0.1T，g=10m/s²．

（1）判斷粒子的電性并求出粒子的比荷．
（2）若從t₀時(shí)刻起，經(jīng)過3s的時(shí)間粒子速度再次變?yōu)樗�平向右，則t₀至少多大？
（3）若t₀=$\frac{3}{π}$s要使粒子不與金屬板A碰撞且恰能平行向右到達(dá)A的右端，試求d與L比值的范圍．

Answer 1

分析 （1）開始粒子做勻速直線運(yùn)動(dòng)，由平衡條件就能求出粒子的比荷．
（2）先求出粒子在正負(fù)磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的周期，看兩個(gè)半周期與3s的關(guān)系，從而判斷出粒子在何處．結(jié)合粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡，畫出粒子在時(shí)間t₀內(nèi)運(yùn)動(dòng)的距離與半徑R₂關(guān)系，就能t₀求出滿足的關(guān)系．
（3）經(jīng)過多次旋轉(zhuǎn)和多次直線運(yùn)動(dòng)后到達(dá)A板右邊緣，這又是一個(gè)多解問題：水平方向和豎直方向必須滿足一定的關(guān)系，豎直方向距離d恰是n（2R₁+2R₂）；水平方向恰是（n+1）v₀t，據(jù)此關(guān)系就能求出兩者之比．

解答 解：（1）由題意知粒子帶正電
  由平衡的知識(shí)可得：
  mg=qE
  代入數(shù)據(jù)得：$\frac{q}{m}=5π\(zhòng)\;C/kg$
（2）由T=$\frac{2πm}{qB}$   得粒子在磁感應(yīng)強(qiáng)度為B₁、B₂的磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的周期分別為：
  T₁=2s    T₂=4s
  又由  $qvB=m\frac{{v}^{2}}{R}$  
  得粒子在磁感應(yīng)強(qiáng)度為B₁、B₂的磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的軌道半徑分別為：
   ${R}_{1}=\frac{{v}_{0}}{π}\$      ${R}_{2}=\frac{2{v}_{0}}{π}$
  故粒子從t=0時(shí)刻開始運(yùn)動(dòng)的一個(gè)周期內(nèi)的軌跡如圖所示．
  據(jù)題意有：v₀t₀≥R₂
   所以：${t}_{0}≥\frac{{R}_{2}}{{v}_{0}}$
（3）設(shè)粒子經(jīng)n個(gè)運(yùn)動(dòng)周期后能平行向右到達(dá)A板右邊緣，則：
  豎直方向  d=n（2R₁+2R₂），n=1，2，3 …
  水平方向L_min=nv₀t₀+v₀t₀    n=1，2，3 …
  聯(lián)立以上四式并代入數(shù)據(jù)得：$\frac{2n}{n+1}≤\fracbo5q6i7{L}≤\frac{6n}{3n+1}$   n=1，2，3 …
答：（1）判斷粒子的電性并求出粒子的比荷為5π．
（2）若從t₀時(shí)刻起，經(jīng)過3s的時(shí)間粒子速度再次變?yōu)樗�平向右，則t₀至少多大$\frac{2}{π}s$．
（3）若t₀=$\frac{3}{π}$s要使粒子不與金屬板A碰撞且恰能平行向右到達(dá)A的右端，d與L比值的范圍是$\frac{2n}{n+1}≤\fracknjw20t{L}≤\frac{6n}{3n+1}$  （n=1，2，3 …）．

點(diǎn)評(píng) 本題是一道帶電粒子交替在電場(chǎng)和正負(fù)磁場(chǎng)中做特殊情況下的運(yùn)動(dòng)，由于周期的特殊性，所以要分段進(jìn)行考察，找出運(yùn)動(dòng)規(guī)律，結(jié)合運(yùn)動(dòng)軌跡，不難得到正確結(jié)果．但要注意的是本題的多解性，每個(gè)一次直線運(yùn)動(dòng)后，在豎直方向旋轉(zhuǎn)幾次，余次類推，最后達(dá)到A板的右邊緣．