Question

17．當(dāng)今醫(yī)學(xué)成像診斷設(shè)備PET/CT堪稱“現(xiàn)代醫(yī)學(xué)高科技之冠”，它在醫(yī)療診斷中，常利用能放射電子的同位素碳11作為示蹤原子，碳11是由小型回旋加速器輸出的高速質(zhì)子轟擊氮14獲得的．加速質(zhì)子的回旋加速器如圖甲所示．D型盒裝在真空容器中，兩D型盒內(nèi)勻強磁場的磁感應(yīng)強度為B，兩D型盒間的交變電壓的大小為U．若在左側(cè)D₁盒圓心處放有粒子源S不斷產(chǎn)生質(zhì)子，質(zhì)子質(zhì)量為m，電荷量為q．假設(shè)質(zhì)子從粒子源S進入加速電場時的初速度不計，不計質(zhì)子所受重力，忽略相對論效應(yīng)．

（1）第1次被加速后質(zhì)子的速度大小v₁是多大？
（2）若質(zhì)子在D型盒中做圓周運動的最大半徑為R，且D型盒間的狹縫很窄，質(zhì)子在加速電場中的運動時間可忽略不計．那么，質(zhì)子在回旋加速器中運動的總時間t_總是多少？
（3）要把質(zhì)子從加速器中引出，可以采用靜電偏轉(zhuǎn)法．引出器原理如圖乙所示，一對圓弧形金屬板組成弧形引出通道，內(nèi)、外側(cè)圓弧形金屬板分別為兩同心圓的一部分，圓心位于Oˊ點．內(nèi)側(cè)圓弧的半徑為r₀，外側(cè)圓弧的半徑為r₀+d．在內(nèi)、外金屬板間加直流電壓，忽略邊緣效應(yīng)，兩板間產(chǎn)生徑向電場，該電場可以等效為放置在Oˊ處的點電荷Q在兩圓弧之間區(qū)域產(chǎn)生的電場，該區(qū)域內(nèi)某點的電勢可表示為φ=k$\frac{Q}{r}$（r為該點到圓心Oˊ點的距離）．質(zhì)子從M點進入圓弧形通道，質(zhì)子在D型盒中運動的最大半徑R對應(yīng)的圓周，與圓弧形通道正中央的圓弧相切于M點．若質(zhì)子從圓弧通道外側(cè)邊緣的N點射出，則質(zhì)子射出時的動能E_k是多少？要改變質(zhì)子從圓弧通道中射出時的位置，可以采取哪些辦法？

Answer 1

分析 （1）質(zhì)子在盒間加速時，電場力做功引起動能變化，根據(jù)動能定理求解第1次被加速后質(zhì)子的速度大小v₁；
（2）質(zhì)子最終從出口處射出D形盒時，軌跡半徑等于D形盒的半徑R，此時速度最大．根據(jù)質(zhì)子在磁場中運動時，由洛倫茲力提供向心力列式求質(zhì)子射出時的動能E_km．由動能定理求出質(zhì)子被加速的次數(shù)，即可結(jié)合周期求解出總時間．
（3）根據(jù)能量守恒定律，結(jié)合電勢的公式，即可求出質(zhì)子射出時的動能，改變電場的強弱和磁場的強弱，可以改變質(zhì)子射出磁場的位置

解答 解：（1）質(zhì)子第一次被加速，由動能定理：$qU=\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}$
解得：${v}_{1}^{\;}=\sqrt{\frac{2qU}{m}}$
（2）質(zhì)子在磁場中做圓周運動時，洛倫茲力提供向心力：$qvB=m\frac{{v}_{\;}^{2}}{R}$
質(zhì)子在做圓周運動的周期為：$T=\frac{2πR}{v}$
設(shè)質(zhì)子運動至M點前被電場加速了n次，由動能定理：$nqU=\frac{1}{2}m{v}_{\;}^{2}$
質(zhì)子在磁場中做圓周運動的周期恒定，在回旋加速器中運動的總時間為：
${t}_{總}^{\;}=\frac{n}{2}T$
解得：${t}_{總}^{\;}=\frac{πB{R}_{\;}^{2}}{2U}$
（3）設(shè)M、N兩點的電勢分別為${φ}_{1}^{\;}$、${φ}_{2}^{\;}$，由能量守恒定律：$q{φ}_{1}^{\;}+\frac{1}{2}m{v}_{\;}^{2}=q{φ}_{2}^{\;}+{E}_{k}^{\;}$
由題可知：${φ}_{1}^{\;}=k\frac{Q}{{r}_{0}^{\;}+\frac{1}{2}d}$，${φ}_{2}^{\;}=k\frac{Q}{{r}_{0}^{\;}+d}$
解得：${E}_{k}^{\;}=kQq（\frac{2}{2{r}_{0}^{\;}+d}-\frac{1}{{r}_{0}^{\;}+d}）+\frac{{q}_{\;}^{2}{B}_{\;}^{2}{R}_{\;}^{2}}{2m}$
改變圓弧通道內(nèi)、外金屬板間所加直流電壓的大�。ǜ淖儓A弧通道內(nèi)電場的強弱），或者改變圓弧通道內(nèi)磁場的強弱，可以改變質(zhì)子從圓弧通道中射出的位置
答：（1）第1次被加速后質(zhì)子的速度大小v₁是$\sqrt{\frac{2qU}{m}}$
（2）若質(zhì)子在D型盒中做圓周運動的最大半徑為R，且D型盒間的狹縫很窄，質(zhì)子在加速電場中的運動時間可忽略不計．那么，質(zhì)子在回旋加速器中運動的總時間t_總是$\frac{πB{R}_{\;}^{2}}{2U}$
（3）質(zhì)子射出時的動能E_k是$kQq（\frac{2}{2{r}_{0}^{\;}+d}-\frac{1}{{r}_{0}^{\;}+d}）+\frac{{q}_{\;}^{2}{B}_{\;}^{2}{R}_{\;}^{2}}{2m}$，要改變質(zhì)子從圓弧通道中射出時的位置，可以采取辦法有：改變圓弧通道內(nèi)、外金屬板間所加直流電壓的大小（改變圓弧通道內(nèi)電場的強弱），或者改變圓弧通道內(nèi)磁場的強弱，可以改變質(zhì)子從圓弧通道中射出的位置

點評 解決本題的關(guān)鍵理解回旋加速器的工作原理，知道粒子出回旋加速器時軌道半徑，對應(yīng)的速度最大，根據(jù)洛倫茲力等于向心力可求出最大速度．