Question

（2010?泰安二模）如圖甲所示，在y軸右側(cè)（包括y軸）存在如圖乙所示變化的均勻磁場，其變化周期為T₀，規(guī)定垂直xOy平面向里的磁場方向為正．在y軸左側(cè)有豎直放置的平行金屬板M、N，兩板間的電勢差為U，一質(zhì)量為m、電荷量為q的帶正電粒子，從M板的中點無初速釋放，通過N板小孔后從坐標原點沿x軸正方向射入磁場（粒子重力和空氣阻力均不計）．
（1）求粒子在磁場中運動的軌道半徑r．
（2）若T0=

2πm

qB0

，粒子在t=0時刻從O點射入磁場中，求t=T₀時粒子的位置坐標．
（3）若T0=

5πm

3qB0

，粒子在t=

T0

4

時刻從O點射入磁場中，求t=

5

4

T0時粒子的坐標．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)動能定理與牛頓第二定律，結(jié)合洛倫茲力提供向心力，即可求解．
（2）根據(jù)勻速圓周運動的周期公式，結(jié)合運動軌跡，即可求解；
（3）根據(jù)勻速圓周運動的半徑公式，結(jié)合幾何關(guān)系與圓心角，即可求解．

解答：解：（1）設(shè)粒子被電場加速獲得速度大小為v₀，
據(jù)動能定理有qU=

1

2

m

v

2 0

解得v0=

2qU m

粒子垂直進入磁場后做半徑為r的勻速圓周運動，
則qv0B0=m

v 2 0

r

得r=

mv0

qB0

=

2mU q B 2 0

（2）設(shè)粒子在磁場中運動的周期為T，
則T=

2πr

v0

=

2πm

qB0

=T0
所以，當t=0時刻從O點射入磁場中，在T₀時間內(nèi)，粒子先用了

T

4

時間做逆時針方向的勻速圓周運動，
接著用

T

2

時間做順時針方向的勻速圓周運動，最后用了

T

4

時間做逆時針方向的勻速圓周運動到達x軸上的P點，如圖所示，
則OP=4r=4

2mU q B 2 0

P點的位置坐標為（4

2mU q B 2 0

，0）
（3）由于T0=

5πm

3qB0

=

5

6

t，從

T0

4

到

3

4

T0的

T0

2

內(nèi)，
則有

T0

2

=

5

12

T=

150°

360°

T
即磁場變化半個周期內(nèi)粒子運動轉(zhuǎn)過150°角，經(jīng)T₀時間粒子到達Q點軌跡如圖，由幾何關(guān)系α=60°，

.

O1A

=

.

O1O2

sinα
Q點的橫坐標xQ=r=

2mU qB0

縱坐標v0=

.

OO1

+

.

O1A

+

.

O0O

=(2+

3

)r=(2+

3

)

2mU q B 2 0

即Q點的位置坐標為（

2mU q B 2 0

，(2+

3

)

2mU q B 2 0

）
答：（1）求粒子在磁場中運動的軌道半徑r=

2mU q B 2 0

．
（2）若T0=

2πm

qB0

，粒子在t=0時刻從O點射入磁場中，則t=T₀時粒子的位置坐標為（4

2mU q B 2 0

，0）．
（3）若T0=

5πm

3qB0

，粒子在t=

T0

4

時刻從O點射入磁場中，則t=

5

4

T0時粒子的坐標為
（

2mU q B 2 0

，(2+

3

)

2mU q B 2 0

）．

點評：考查動能定理、牛頓第二定律與運動學(xué)公式的應(yīng)用，掌握勻速圓周運動的半徑與周期公式，理解幾何關(guān)系在題中的巧用．