Question

（2007?濰坊模擬）一宇航員到達半徑為R、密度均勻的某星球表面，做如下實驗：用不可伸長的輕繩拴一質(zhì)量為m的小球，上端固定在O點，如圖甲所示，在最低點給小球某一初速度，使其繞O點在豎直面內(nèi)做圓周運動，測得繩的拉力大小F隨時間t的變化規(guī)律如圖乙所示．F₁、F₂已知，引力常量為G，忽略各種阻力．求：
（1）星球表面的重力加速度
（2）星球的密度．

Answer 1

分析：（1）小球在豎直平面內(nèi)做圓周運動，在最高點與最低點繩子的拉力與重力的合力提供向心力，由牛頓第二定律可以求出重力加速度．
（2）萬有引力等于重力，求出星球的質(zhì)量，然后由密度公式求出星球的密度．

解答：解：（1）由乙圖知：小球做圓周運動在最高點拉力為F₂，在最低點拉力為F₁．
設(shè)最高點速度為v₂，最低點速度為v₁，繩長為l．
在最高點：F2+mg=

m v 2 2

l

    ①，
在最低點：F1-mg=

m v 2 1

l

     ②，
由機械能守恒定律得：

1

2

m

v

2 1

=mg?2l+

1

2

m

g

2 2

   ③，
由①②③解得：g=

F1-F2

6m

；④
（2）在星球表面：

GMm

R2

=mg  ⑤
星球密度：ρ=

M

V

  ⑥，
由⑤⑥解得：ρ=

F1-F2

8πGmR

；
答：（1）星球表面的重力加速度為：

F1-F2

6m

．
（2）星球的密度為

F1-F2

8πGmR

．

點評：本題考查了求重力加速度、星球密度等問題，應(yīng)用牛頓第二定律、萬有引力定律、機械能守恒定律、密度公式即可正確解題．