Question

如圖所示，水平桌面上有一輕彈簧，左端固定在A點(diǎn)，自然狀態(tài)時(shí)其右端位于B點(diǎn)．水平桌面右側(cè)有一豎直放置的光滑軌道MNP，其形狀為半徑R=0.8m的圓環(huán)剪去了左上角的135°的圓弧，MN為其豎直直徑，P點(diǎn)到桌面的豎直距離也是R．用質(zhì)量m₁=0.4kg的物塊將彈簧緩慢壓縮到C點(diǎn)，釋放后彈簧恢復(fù)原長時(shí)物塊恰停止在B點(diǎn)．用同種材料?質(zhì)量為m₂=0.2kg的物塊將彈簧緩慢壓縮到C點(diǎn)釋放，物塊過B點(diǎn)后其位移與時(shí)間的關(guān)系為x=6t-2t²，物塊飛離桌面后由P點(diǎn)沿切線落入圓軌道，不計(jì)空氣阻力，g=10m/s²，求：

（1）物塊運(yùn)動到P點(diǎn)速度的大小和方向．
（2）判斷m₂能否沿圓軌道到達(dá)M點(diǎn)．
（3）釋放后m₂運(yùn)動過程中克服摩擦力做的功．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)物體做平拋運(yùn)動，根據(jù)運(yùn)動的分解，由運(yùn)動學(xué)公式，即可求解；
（2）根據(jù)動能定理與牛頓第二定律，即可求解；
（3）根據(jù)能量守恒定律，結(jié)合摩擦力做功，即可求解．

解答：解：（1）設(shè)物塊由D點(diǎn)以初速度v_D做平拋運(yùn)動，落到P點(diǎn)時(shí)其豎直速度為v_y²=2gR
得v_D=v_y=4 m/s
所以到P的速度為vP=4

2

m/s，方向與水平方向夾角為45°
（2）若物塊能沿軌道到達(dá)M點(diǎn)，其速度為v_M，
根據(jù)動能定理，則有

1

2

m₂v²_M=

1

2

m₂v²_D-

2

2

m₂gR
軌道對物塊的壓力為F_N，則F_N+m₂g=m₂

v 2 M

R

解得F_N=（1-

2

）m₂g＜0
即物塊不能到達(dá)M點(diǎn)．
（3）設(shè)彈簧長為AC時(shí)的彈性勢能為E_p，物塊與桌面間的動摩擦因數(shù)為μ，釋放m₁時(shí)，E_p=μm₁gs_CB
釋放m₂時(shí)，E_p=μm₂gs_CB+

1

2

m₂v²₀
且m₁=2m₂，得E_p=m₂v²₀=7.2 J
m₂在桌面上運(yùn)動過程中克服摩擦力做功為W_f，
則E_p-W_f=

1

2

m₂v²_D  可得W_f=5.6 J．
答：（1）物塊運(yùn)動到P點(diǎn)速度的大小4

2

m/s和方向與水平方向夾角為45°．
（2）判斷m₂不能沿圓軌道到達(dá)M點(diǎn)．
（3）釋放后m₂運(yùn)動過程中克服摩擦力做的功5.6 J．

點(diǎn)評：考查動能定理、牛頓第二定律與運(yùn)動學(xué)公式綜合應(yīng)用，掌握能量守恒定律，注意摩擦力做功的特點(diǎn)，同時(shí)當(dāng)心做功的正負(fù)．