Question

11．質(zhì)量為m的小球A用不可伸長的細(xì)繩懸于O點(diǎn)，在O點(diǎn)的正下方有一固定的釘子B，OB=d，初始時(shí)繩子拉直，且與水平方形呈30°夾角，將小球A無初速度釋放，繩長為L，如圖所示，試求：
（1）若d=$\frac{5L}{6}$，繩子碰釘子后通過B點(diǎn)正上方時(shí)繩子的拉力大��；
（2）為了是小球能繞B點(diǎn)作完成的圓周運(yùn)動(dòng)，d的取值范圍．

Answer 1

分析 根據(jù)動(dòng)能定理求出小球到達(dá)最高點(diǎn)時(shí)的速度，再在最高點(diǎn)，根據(jù)向心力公式列式求解繩子拉力大小，為使球能繞B點(diǎn)做圓周運(yùn)動(dòng)，在D點(diǎn)繩子的拉力和重力的合力提供向心力，當(dāng)繩子的拉力等于零時(shí)，小球的速度最小，根據(jù)向心力公式求出最小速度，再根據(jù)動(dòng)能定理列式即可求解

解答 解：（1）從釋放到運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)正上方時(shí)，根據(jù)動(dòng)能定理得：mg$（L-2×\frac{1}{6}L）$=$\frac{1}{2}m{v}^{2}$ 
    解得：v=$\sqrt{\frac{4}{3}gL}$
  在最高點(diǎn)，根據(jù)向心力公式得：T+mg=m$\frac{{v}^{2}}{\frac{L}{6}}$
  解得：T=8mg
（2）球能繞B點(diǎn)做圓周運(yùn)動(dòng)，在D點(diǎn)根據(jù)向心力公式有：
    mg+F=m$\frac{{v}^{2}}{r}$
 當(dāng)F=0時(shí)，速度取最小值
  所以v$≥\sqrt{gr}$=$\sqrt{g（L-d）}$
  小球從最高點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到D點(diǎn)的過程中運(yùn)用動(dòng)能定理得：$\frac{1}{2}$mv²-0=mg（2d-L）
  解得：v=$\sqrt{2g（2d-L）}$
   則   $\sqrt{2g（2d-L）}$$≥\sqrt{g（L-d）}$   則d$≥\frac{3}{5}L$
由題意得  d＜L
所以有：L＞d$≥\frac{3}{5}L$
答：（1）若d=$\frac{5L}{6}$，繩子碰釘子后通過B點(diǎn)正上方時(shí)繩子的拉力大小為8mg；
（2）為了是小球能繞B點(diǎn)作完成的圓周運(yùn)動(dòng)，d的取值范圍為L＞d$≥\frac{3}{5}L$

點(diǎn)評 本題主要考查了動(dòng)能定理及向心力公式的直接應(yīng)用，知道豎直平面內(nèi)的圓周運(yùn)動(dòng)，在最高點(diǎn)和最低點(diǎn)是由合外力提供向心力，難度不大，屬于基礎(chǔ)題