Question

15．如圖所示，在方向豎直向上的磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中，有兩條足夠長(zhǎng)的平行金屬導(dǎo)軌，其電阻不計(jì)，間距為L(zhǎng)，導(dǎo)軌平面與磁場(chǎng)方向垂直．a(chǎn)b、cd為兩根垂直導(dǎo)軌放置的、電阻都為R、質(zhì)量都為m的金屬棒．棒cd用能承受最大拉力為T₀的水平細(xì)線拉住，棒cd與導(dǎo)軌間的最大靜摩擦力為f，假設(shè)最大靜摩擦力剛好等于滑動(dòng)摩擦力．棒ab與導(dǎo)軌間的摩擦不計(jì)，在水平拉力F的作用下以加速度a由靜止開始向右做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，求：
（1）線斷以前水平拉力F隨時(shí)間t的變化規(guī)律；
（2）經(jīng)多長(zhǎng)時(shí)間細(xì)線將被拉斷．
（3）細(xì)線拉斷瞬間，水平拉力F立即改作用在cd棒上且變?yōu)槎啻�，才可以使兩桿穩(wěn)定時(shí)共同勻速．勻速速度大小為多大？

Answer 1

分析 （1）對(duì)ab棒，由E=BLv，v=at、I=$\frac{E}{2R}$和安培力公式F=BIL推導(dǎo)出安培力的表達(dá)式，根據(jù)牛頓第二定律列式，得到F與t的變化規(guī)律；
（2）當(dāng)細(xì)線所受的拉力達(dá)到最大值T時(shí)將被拉斷，此時(shí)拉力恰好與所受的安培力大小相等．即可求出此細(xì)線所能承受的最大拉力T；
（3）拉力F撤去，兩棒組成的系統(tǒng)合外力為零，遵守動(dòng)量守恒．當(dāng)兩棒的速度相同時(shí)，此共同速度就是cd棒的最大速度．根據(jù)動(dòng)量守恒定律求解．

解答 解：（1）在時(shí)刻t，棒的速度：v=at
棒中感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)為：E=BLv=BLat
棒中的感應(yīng)電流為：I=$\frac{BLat}{2R}$
由牛頓第二定律：F-BIL=ma
得：F=$\frac{{{B^2}{L^2}a}}{2R}t+ma$
（2）細(xì)線拉斷時(shí)滿足
BIL=f+T₀
$\frac{{{B^2}{L^2}a}}{2R}t=f$+T₀
t=$\frac{{2R（{f+{T_0}}）}}{{{B^2}{L^2}a}}$
（3）對(duì)兩桿看成一個(gè)系統(tǒng)，合外力為0系統(tǒng)動(dòng)量守恒，穩(wěn)定時(shí)速度相同，所以F=f．
由動(dòng)量守恒得：mv=2mv₁
解得：${v_1}=\frac{1}{2}v$
又因?yàn)?v=at=\frac{{2R（f+{T_0}）}}{{{B^2}{L^2}}}$
解得：${v_1}=\frac{{R（f+{T_0}）}}{{{B^2}{L^2}}}$
答：（1）線斷以前水平拉力F隨時(shí)間t的變化規(guī)律F=$\frac{{{B^2}{L^2}a}}{2R}t+ma$；
（2）經(jīng)$\frac{{2R（{f+{T_0}}）}}{{{B^2}{L^2}a}}$時(shí)間細(xì)線將被拉斷．
（3）細(xì)線拉斷瞬間，水平拉力F立即改作用在cd棒上且變?yōu)槎啻�，才可以使兩桿穩(wěn)定時(shí)共同勻速．勻速速度大小為$\frac{R（f+{T}_{0}）}{{B}^{2}{L}^{2}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題是雙桿模型，當(dāng)cd棒不動(dòng)時(shí)，只有ab棒切割磁感線產(chǎn)生感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)，關(guān)鍵要會(huì)推導(dǎo)安培力的表達(dá)式．當(dāng)兩棒都運(yùn)動(dòng)時(shí)，要把握住基本規(guī)律是：系統(tǒng)的動(dòng)量守恒．